Résumé : Dans un article antérieur, le second
auteur avait proposé une extension de la théorie des
variétés d'Eilenberg en établissant une correspondance
entre certaines classes de morphismes de monoïdes et certaines classes
de langages rationnels. Nous complétons cette théorie dans
plusieurs directions. Nous commençons par étendre le
théorème de Reiterman relatif à la définition
des variétés par identités. Nous illustrons ce
résultat en décrivant les identités attachées
aux langages de la forme (a1a2...
ak)+, où a1, ...,
ak sont des lettres distinctes. Ensuite, nous
généralisons les notions de produit de Mal'cev, de
variétés positives et de fermeture polynomiale. Nos
résultats permettent non seulement d'étendre les
résultats déjà connus, mais proposent également
une approche unifiée pour des cas qui nécessitaient jusqu'ici
un traitement séparé.
Abstract : In an earlier paper, the second author generalized
Eilenberg's variety theory by establishing a basic correspondence between
certain classes of monoid morphisms and families of regular languages. We
extend this theory in several directions. First, we prove a version of
Reiterman's theorem concerning the definition of varieties by identities,
and illustrate this result by describing the identities associated with
languages of the form (a1a2...
ak)+, where a1, ...,
ak are distinct letters. Next, we generalize the notions of
Mal'cev product, positive varieties, and polynomial closure. Our results
not only extend those already known, but permit a unified approach of
different cases that previously required separate treatment.