John Fountain, Jean-Éric Pin et Pascal Weil
Résumé : Un monoïde M est une extension
d'un sous-monoïde T par un groupe G s'il existe un
morphisme de M sur G tel que T soit l'image inverse de
l'élément neutre de G. Notre premier
théorème principal donne des descriptions de telles
extensions en termes de groupes agissant sur des catégories. Le
développement de cette théorie est utilisé ensuite
pour obtenir notre second résultat principal qui répond
à la question suivante. Etant donné un monoïde M
et un sous-monoïde T, sous quelles conditions peut-on trouver
un monoïde M' et un morphisme f de M' sur M
tel que M' soit une extension d'un sous-monoïde T' par
un groupe, et tel que f induise un isomorphisme de T' sur
T. Ces résultats peuvent être considérés
comme des généralisations de deux théorèmes de
McAlister qui font partie des fondements de la théorie des
semigroupeps inversifs. Ces résultats sont étroitement
reliés à la célèbre solution de la conjecture
de Rhodes en théorie des semigroupes finis, obtenue par Ash.
McAlister a démontré que tout monoïde inversif admet un
revêtement inversif E-unitaire, et il a décrit la structure
des monoïdes inversifs E-unitaires. De nombreux chercheurs ont
étendu l'un ou l'autre de ces résultats à une classe
plus large de semigroupes. Presque toutes ces généralisations
sont des conséquences de nos deux théorèmes.
Abstract : A monoid M is an extension of a submonoid T
by a group G if there is a morphism from M onto G such
that T is the inverse image of the identity of G. Our first
main theorem gives descriptions of such extensions in terms of groups
acting on categories. The theory developed is also used to obtain a second
main theorem which answers the following question. Given a monoid M
and a submonoid T, under what conditions can we find a monoid
M' and a morphism f from M' onto M such that
M' is an extension of a submonoid T' by a group, and f
maps T' isomorphically onto T. These results can be viewed as
generalisations of two seminal theorems of McAlister in inverse semigroup
theory. They are also closely related to Ash's celebrated solution of the
Rhodes conjecture in finite semigroup theory.
McAlister proved that each inverse monoid admits an E-unitary inverse
cover, and gave a structure theorem for E-unitary inverse monoids.
Many researchers have extended one or both of these results to wider
classes of semigroups. Almost all these generalisations can be recovered from
our two main theorems.
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