Résumé : Cet article résume le
travail des auteurs sur les semigroupes inversifs. Nous commençons
par rappeler le théorème de structure pour les semigroupes
inversifs, puis nous donnons une nouvelle description des monoïdes
inversifs E-unitaires utilisant des groupes agissant sur une
catégorie. Ce point de vue a déjà été
utilisé avec succès en topologie algébrique et en
théorie combinatoire des groupes et s'applique également aux
monoïdes inversifs. Les monoïdes inversifs E-unitaires
apparaissent comme des monoïdes inversifs "sans singularité",
au sens où leurs stabilisateurs ont de bonnes
propriétés. Il apparait en fait que, contrairement à
ce qui se passe en général avec les semigroupes
réguliers, cette approche s'applique aussi au cas non
régulier. Nous montrons ainsi que les semigroupes E-denses
généralisent les semigroupes inversifs, les semigroupes
inversifs E-unitaires et les extensions de groupes par des demi-treillis
généralisent les extensions régulières. Muni de
ce dictionnaire, nous étendons au cas non régulier la plupart
des résultats connus dans le cas régulier. Il reste toutefois
une conjecture non résolue pour laquelle nous donnons diverses
formulations équivalentes et des résultats partiels. Nous
donnons ensuite deux nouvelles descriptions du monoïde inversif libre
sur un ensemble A. La seconde description montre que le monoïde
inversif libre peut être plongé dans le produit de
Schützenberger de deux groupes libres. Finalement, nous
présentons les résultats de théorie des langages qui
ont motivé en partie ces travaux. Nous donnons plusieurs
caractérisations de la variété de langages
correspondant à la variété de monoïdes finis
engendrée par les monoïdes inversifs finis et nous
établissons également un lien avec la théorie des
codes à longueur variable.
Abstract : This paper summarizes the work of the
authors about inverse semigorups. We first resume the structure theorem for
inverse semigroups and we give a new description of E-unitary inverse
monoids involving groups acting on a category. This point of view was
already used with success in algebraic topology and in combinatorial group
theory and applies as well to inverse monoids. Now E-unitary inverse
monoids appear as inverse monoids "without singularities", in the sense
that the stabilizers are nice. It turns out that, contrary to many results
on regular semigroups, this approach also works in the nonregular case. We
show that E-dense semigroups generalize inverse semigroups, E-unitary
inverse semigroups and extensions of groups by semilattices generalize
regular extensions. With this dictionary in hand we extend most known
results to the nonregular case. However there is still a conjecture in this
theory for which we give various equivalent statements and partial resuts.
Next we give two new descriptions of the free inverse monoid on a set A.
The second one shows that the free inverse monoid is embedded in the
Schützenberger product of two free groups. Finally, we survey some
results of language theory that were one of the original motivations of the
authors. We give various descriptions of the variety of languages
corresponding to the variety of finite monoids generated by all finite
inverse monoids, and we also establish a bridge with the theory of
variable-length codes.