Résumé : Cet article analyse les nombreuses
conséquences de la solution donnée par Ash de la conjecture
dite "Type II" pour les monoïdes finis. Après un rappel de
l'énoncé et de l'historique du problème, on montre
comment il peut être utilisé pour décider si un
monoïde fini est dans la variété engendrée par le
produit de Malcev d'une variété donnée et de la
variété des groupes. Plusieurs variétés de
monoïdes intéressantes possèdent une description de ce
type, comme les variétés engendrées respectivement par
les monoïdes inversifs, orthodoxes ou solides. Un cas fascinant est
celui des bloc-groupes. Un bloc-groupe est un monoïde dans lequel
chaque élément possède au plus un inverse (au sens des
semigroupes). Une conséquence de la conjecture du revêtement
--- également démontrée par Ash --- est que les
bloc-groupes sont précisément les diviseurs des monoïdes
des parties des groupes finis. La preuve de ce résultat utilise
à la fois des résultats déjà publiés des
auteurs et les résultats et outils les plus profonds de la
théorie globale des semigroupes. On explore ensuite les connections
avec les topologies profinies de groupe sur des monoïdes et des
groupes libres de type fini. En particulier, on montre que la conjecture de
type II est équivalente à deux autres conjectures sur la
structure des ensembles fermés (l'une de ces conjectures est
formulée pour le monoïde libre, l'autre pour le groupe libre).
Maintenant, le théorème de Ash entraîne la
valaditié de ces deux conjectures topologiques, dont une preuve
directe a été donnée récemment par Ribes et
Zalesskii dans le cas du groupe libre. Une conséquence importante
est qu'un sous-ensemble rationnel d'un groupe libre de type fini G
est fermé dans la topologie profinie si et seulement si il est union
finie d'ensembles de la forme gH1H2...
Hn, où chaque Hi est un sous-groupe
de type fini de G. Ce résultat étend de façon
significative des résultats classiques de M. Hall. Finalement, nous
revenons aux sources du problème et nous établissons des
liens avec la théorie de la complexité des semigroupes finis.
Nous montrons que la fonction de complexité la plus large au sens de
Rhodes et Tilson est calculable.
Abstract : This paper is concerned with the many deep and far
reaching consequences of Ash's positive solution of the type II conjecture
for finite monoids. After rewieving the statement and history of the
problem, we show how it can be used to decide if a finite monoid is in the
variety generated by the Malcev product of a given variety and the variety
of groups. Many interesting varieties of finite monoids have such a
description including the variety generated by inverse monoids, orthodox
monoids and solid monoids. A fascinating case is that of block groups. A
block group is a monoid such that every element has at most one semigroup
inverse. As a consequence of the cover conjecture --- also verified by Ash
--- it follows that block groups are precisely the divisors of power
monoids of finite groups. The proof of this last fact uses earlier results
of the authors and the deepest tools and results from global semigroup
theory. We next give connections with the profinite group topologies on
finitely generated free monoids and free groups. In particular, we show
that the type II conjecture is equivalent with two other conjectures on the
structure of closed sets (one conjecture for the free monoid and another
one for the free group). Now Ash's theorem implies that the two topological
conjectures are true and independently, a direct proof of the topological
conjecture for the free group has been recently obtained by Ribes and
Zalesskii. An important consequence is that a rational subset of a finitely
generated free group G is closed in the profinite topology if and
only if it is a finite union of sets of the form
gH1H2... Hn, where each
Hi is a finitely generated subgroup of G. This
significantly extends classical results by M. Hall. Finally we return to
the roots of this problem and give connections with the complexity theory
of finite semigroups. We show that the largest local complexity function in
the sense of Rhodes and Tilson is computable.