Résumé : Un holoïde est
un monoïde commutatif dans lequel la division est un ordre partiel.
Dubreil, Fuchs, Mitsch et Bosbach ont étudié certains
holoïdes dans lesquels chaque élément admet une
factorisation unique (éventuellement réduite) en produits
d'éléments irréductibles, premiers ou maximaux. Nous
donnons un sens précis aux termes reduction et
reduced. Puis nous étudions une nouvelle famille
d'holoïdes, appelés factoriels -- un concept qui
généralise les holoïdes à unique
factorisation considérés jusqu'à présent
--. La différence la plus significative est que nous n'imposons
aucune condition de chaîne. Néanmoins, les bonnes
propriétés de ces holoïdes sont
préservées: existence d'un ppcm, existence d'une solution
minimum à l'équation ax = b lorsque a divise
b. Nous démontrons également le résultat
suivant: si H est factoriel, alors il est aussi factoriel par
rapport au ppcm pris comme loi de composition.
Abstract : An holoid is a commutative monoid
in which division is a partial order. Dubreil, Fuchs, Mitsch and Bosbach
studied certain holoids in which every element has a unique factorization
(possibly reduced) into irreducible, prime or maximal elements. We give a
specific meaning to the words reduction and reduced. Then we
study a new family of holoids, called factorial -- a concept which
generalizes the previous holoids with unique factorization --. The
most meaningful difference is that we don't suppose any chain condition.
However, we have again the good properties of these holoids:
existence of l.c.m., existence of a minimum solution to the equation ax
= b when a divides b. We also prove the following result:
if H is factorial, then it is also factorial with respect of the
l.c.m. as a law of composition.
