Dual space of a lattice as the
completion of a Pervin space
J.-É. Pin
Résumé : Cet article de synthèse présente des
résultats bien connus sous un nouvel angle. Un espace de Pervin est un
ensemble X équipé d'un ensemble de parties, appelé les blocs de l'espace de
Pervin. Les blocs sont fermés par intersection finie et union finie et
forment ainsi un treillis de parties de X. Les espaces de Pervin sont donc
plus faciles à définir que les espaces topologiques ou les espaces (quasi-)
uniformes. Par conséquent, la plupart des notions topologiques, comme la
convergence et les points d'adhérence, l'ordre de spécialisation, les
filtres de Cauchy, les espaces complets et la complétion sont beaucoup plus
faciles à définir pour les espaces Pervin. En particulier, la complétion
d'un espace Pervin s'avère être l'espace dual (au sens de Stone) du
treillis de départ.
Nous montrons que tout treillis de parties peut être décrit par un ensemble
d'inéquations de la forme u ≤ v, où u et v sont des éléments de son
espace dual. On donne des applications aux langages formels et aux classes de
complexité.
Abstract :
This survey paper presents well-known results from a new angle.
A Pervin space is a set X equipped with a set of subsets,
called the blocks of the Pervin space. Blocks are closed under finite
intersections and finite unions and hence form a lattice of subsets of X.
Pervin spaces are thus easier to define than topological spaces or
(quasi)-uniform spaces. As a consequence, most of the standard topological
notions, like convergence and cluster points, specialisation order, filters
and Cauchy filters, complete spaces and completion are much easier to
define for Pervin spaces. In particular, the completion of a Pervin space
turns out to be the dual space (in the sense of Stone) of the original
lattice.
We show that any lattice of subsets can be described by a set of
inequations of the form u ≤ v, where u and v are elements of its dual
space. Applications to formal languages and complexity classes are given.