Résumé : La topologie de Hall pour le groupe libre est
la topologie la moins fine qui rend continue les morphismes de groupe du
groupe libre dans un groupe fini. M. Hall Jr. a montré que tout
sous-groupe finiment engendré du groupe libre est fermé pour
cette topologie. Nous conjecturons que si H1,
H2, ..., Hn sont des sous-groupes
finiment engendrés du groupe libre, le produit
H1H2... Hn est fermé. Nous
discutons quelques conséquences de cette conjecture. Tout d'abord,
elle permettrait de donner un algorithme simple et élégant
pour calculer la fermeture d'un langage rationnel du groupe libre. Ensuite,
elle entraîne une conjecture similaire pour le monoïde libre,
qui est elle-même équivalente à une conjecture sur les
semigroupes finis, pour la solution de laquelle J. Rhodes a offert 100$.
Nous espérons que notre nouvelle conjecture donnera un nouvel
éclairage à la conjecture de Rhodes.
Abstract : The Hall topology for the free group is the coarsest
topology such that every group morphism from the free group onto a finite
discrete group is continuous. It was shown by M. Hall Jr. that every
finitely generated subgroup of the free group is closed for this topology.
We conjecture that if H1, H2, ...,
Hn are finitely generated subgroups of the free group,
then the product H1H2... Hn is
closed. We discuss some consequences of this conjecture. First, it would
give a nice and simple algorithm to compute the closure of a given rational
subset of the free group. Next, it implies a similar conjecture for the
free monoid, which, in turn, is equivalent to a deep conjecture on finite
semigroup, for the solution of which J. Rhodes has offered $100. We hope
that our new conjecture will shed some light on the Rhodes's conjecture.