Résumé : Cet article est consacré à
l'étude du produit de concaténation bidéterministe,
une variante du produit de concaténation. Nous donnons une
caractérisation algébrique des variétés de
langages fermées pour ce produit. Plus précisément,
soit V une variété de monoïdes, soit
V la variété de langages correspondante et soit
W la plus petite variété contenant
V et le produit bidéterministe de deux langages
quelconques de V. On donne une description algébrique
de la variété de monoïdes W correspondant
à W. Par exemple, nous calculons W lorsque
V est l'une des variétés suivantes: la
variété des monoïdes idempotents et commutatifs, la
variété des monoïdes qui sont des demi-treillis de
groupes d'une variété de groupes donnée, la
variété des monoïdes idempotents et R-triviaux. En
particulier, nous montrons que la plus petite variété de
langages fermée par produit bidéterministe et contenant le
langage {1} correspond à la variété des
monoïdes J-triviaux dont les idempotents commutent. On connaissait
déjà des résultats similaires pour d'autres variantes
du produit de concaténation, mais les opérations
algébriques correspondantes utilisaient des variantes du produit
semidirect et du produit de Malcev. Ici, l'opération V -> W
repose sur la construction d'une expansion, qui associe à chaque
monoïde fini M un monoïde fini N possédant
les propriétés suivantes:
M est un quotient de N,
le morphisme f : N -> M induit un isomorphisme entre les
sous-monoïdes de N et de M engendrés par leurs
éléments réguliers respectifs
l'image inverse d'un idempotent de M par f est un
semigroupe 2-nilpotent.
Abstract : This paper is devoted to the study of the bideterministic
concatenation product, a variant of the concatenation product. We give an
algebraic characterization of the varieties of languages closed under this
product. More precisely, let V be a variety of monoids,
V the corresponding variety of languages and W
the smallest variety containing V and the bideterministic
products of two languages of V. We give an algebraic
description of the variety of monoids W corresponding to
W. For instance, we compute W when V is one of
the following varieties : the variety of idempotent and commutative
monoids, the variety of monoids which are semilattices of groups of a given
variety of groups, the variety of R-trivial and idempotent monoids. In
particular, we show that the smallest variety of languages closed under
bideterministic product and containing the language {1}, corresponds
to the variety of J-trivial monoids with commuting idempotents. Similar
results were known for the other variants of the concatenation product, but
the corresponding algebraic operations on varieties of monoids were based
on variants of the semidirect product and of the Malcev product. Here the
operation V -> W makes use of a construction which associates to any
finite monoid M an expansion N, with the following
properties:
M is a quotient of N,
the morphism f : N -> M induces an isomorphism between the
submonoids of N and of M generated by the regular elements
and
the inverse image under f of an idempotent of M is a
2-nilpotent semigroup.