Résumé : Le but de cet article est d'étudier la
hiérarchie de concaténation dont le niveau 0 est
constituée par les langages à groupe. La réunion de
tous les niveaux de cette hiérarchie est la fermeture des langages
à groupe pour le produit et les opérations booléennes.
Notre premier résultat montre que cette union est une
variété de langages décidable. Le reste de l'article
est consacré à l'étude du niveau 1. Cette
variété de langages, et la variété de
monoïdes correspondante ◊G, apparaissent dans
différents contextes. Tout d'abord, ◊G est
exactement la variété J * G engendrée par tous
les produits semi-directs d'un monoïde J-trivial par un groupe.
Ensuite ◊G est aussi la variété
engendrée par les monoïdes des parties d'un groupe. Finalement,
les langages de niveau 1 apparaissent dans l'étude de la topologie
des groupes finis du monoïde libre. Un problème important est
de savoir si cette variété est décidable. La
discussion de ce problème a motivé l'introduction de la
variété BG, qui est la variété de tous
les monoïdes M tels que, pour tout idempotent e,
f de M, efe = e entraîne e = f. Plusieurs
définitions équivalentes sont proposées dans
l'article. En particulier, nous montrons qu'un monoïde M est
dans BG si et seulement si le sous-monoïde engendré par
tous les idempotents de M est dans la variété
J. On montre aussi que BG est engendré par tous les
monoïdes qui sont, en un certain sens, extensions d'un groupe par un
monoïde de J. Finalement, ◊G est contenu
dans BG mais nous de savons pas si cette inclusion est stricte ou
non.
[En fait, l'égalité ◊G = BG a
été établie en 1991 par
Henckell et Rhodes]
Abstract : The aim of this paper is to study the concatenation
hierarchy whose level 0 consists of all group languages. The union of all
the levels of this hierarchy is the closure of group languages under
product and boolean operations. Our first result states that this union is
a decidable variety of languages. The rest of the paper is devoted to the
study of level 1. This variety of languages, and the corresponding variety
of monoids ◊G, appear in many different contexts.
First, ◊G is exactly the variety J * G generated
by all semidirect products of a J-trivial monoid by a group. Second
◊G is also the variety generated by powermonoids of
groups. Finally, languages of level 1 arise in the study of the finite
group topology for the free monoid. An important problem is to know whether
this variety is decidable. The discussion of this problem motivated the
introduction of the variety of monoids BG, which is the variety of
all monoids M such that, for every idempotent e, f of
M, efe = e implies e = f. Several equivalent
definitions are given in the paper. In particular, we show that a monoid
M is in BG if and only if the submonoid generated by all
idempotents of M belongs to J. We also prove that BG
is generated by all monoids that are, in some sense, extensions of a group
by a monoid of J. Finally, ◊G is contained in
BG but we don't know if this inclusion is strict or not.
[Actually, the equality ◊G = BG has been established by
Henckell and Rhodes in 1991]