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Théorie des semigroupes

Mes travaux sur les langages reconnaissables m'ont naturellement conduit à étudier les semigroupes. En effet les besoins propres de la théorie des langages ont souvent nécessité le développement de tel ou tel aspect de la théorie des semigroupes.

L'article [1] - antérieur à mes travaux sur les langages formels - est une extension des travaux de Bosbach sur les semigroupes commutatifs factoriels.

Les articles [14,32,20,33,30,46,66] sont en partie liés à l'étude du semigroupe PS des parties d'un semigroupe S. J'ai tout d'abord étudié le semigroupe des parties d'un groupe fini dont j'ai caractérisé les idempotents et les classes régulières. J'ai également donné une nouvelle démonstration (basée sur le théorème de Ramsey) d'un théorème de Putcha qui caractérise les semigroupes S tels que PS soit apériodique (i.e. sans groupe). Plus généralement, j'ai donné une caractérisation extrèmement simple des semigroupes S tels que PS soit R-trivial, L-trivial et J-trivial. J'ai également étudié, avec S.W. Margolis, le monoïde des parties contenant l'identité d'un monoïde [36]. Curieusement, ce monoïde possède des propriétés beaucoup plus contraintes que PS. Les applications de ces résultats à la théorie des langages ont été évoquées plus haut.

J'ai contribué à populariser l'utilisation d'un outil extrèmement utile en théorie des semigroupes, les morphismes relationnels [10,59] dont j'ai fait une étude systématique.

J'ai écrit avec S.W. Margolis une série d'articles sur les semigroupes inversifs publiés dans le Journal of Algebra [49,51,50]. L'un des buts de la théorie de ces semigroupes est leur description à l'aide de groupes et de demi-treillis (un demi-treillis est un semigroupe commutatif dans lequel tout élément est égal à son carré : par exemple, l'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'union). Les résultats fondamentaux de cette théorie peuvent se résumer ainsi :

S.W. Margolis et moi-même avons cherché à étendre ces résultats au cas des semigroupes non réguliers, réputé infiniment plus difficile, puisqu'il n'existait presque aucun résultat sur les semigroupes non-réguliers dans la littérature. Nous avons établi pour ces semigroupes des résultats analogues à ceux évoqués en (b), avec l'avantage d'un cadre beaucoup plus naturel. Il faut en effet adopter d'emblée un point de vue plus général en remplaçant les semigroupes par des catégories (considérées ici comme des structures algébriques semblables aux groupes et aux espaces vectoriels) [30,29]. Ce point de vue n'est d'ailleurs pas nouveau et a conduit notamment à des résultats remarquables dans l'étude du groupe libre. Sans entrer dans les détails, disons que les notions classiques empruntées à la topologie algébrique (revêtement, groupe fondamental, etc...) permettent une interprétation très naturelle de certains concepts algébriques. On retrouve ce point de vue, appliqué à la théorie des produits en couronne, dans la thèse de troisième cycle de P. Weil.

Ultérieurement, la propriété (a) a été étendue au cas non régulier par Ch. Ash dans le cas des semigroupes finis, puis par J. Fountain pour les semigroupes infinis. Elle donne une caractérisation très simple (et effective) des semigroupes qui divisent un semigroupe inversif fini : ce sont ceux dont les idempotents commutent. Depuis, j'ai étendu ces résultats, en collaboration avec J. Almeida et P. Weil [71], dans le cadre plus général des semigroupes dans lesquels les idempotents forment un sous-semigroupe.

Une collaboration avec B. Le Saec et P. Weil a permis d'établir une propriété générale des semigroupes finis : tout semigroupe fini est quotient d'un semigroupe fini dans lequel les stabilisateurs sont formés d'idempotents. Notre résultat est même un peu plus précis et intervient de façon cruciale dans la démonstration du théorème de McNaughton sur les automates de mots infinis [67,68].



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Jean-Eric PIN, 5 Octobre 1996