Logique et théorie des ensembles

Unité optionnelle de la licence de mathématiques.

Année 2009-2010

• Bref plan du cours :
  • Axiomatisation de l'arithmétique (axiomes de Peano)
  • Théorie des ensembles (axiomes de Zermelo)
  • Calcul des prédicats du premier ordre
• semaine 1 : 27/01/10
  • Introduction : axiomatisation de l'arithmétique, (un peu d'histoire, les coupures, Dedekind 1888, Peano 1889) ; les axiomes de Peano ; définition par récurrence simple (existence provisoirement admise) ; définition par récurrence avec paramètre (existence et unicité déduites de la précédente) ; addition, multiplication, exponentielle.
  • Le TD ne peut pas avoir lieu cette semaine.
• semaine 2 : 3/02/10
  • Définitions par récurrence avec paramètre, dépendant de l'argument (existence et unicité démontrées à partir de la définition par récurrence simple) ; ordre large et ordre strict, ordre sur les entiers.
  • première feuille de TD (exemples de récurrence, bon ordre), rédigée par Samy Abbes.
• semaine 3 :10/02/10
  • ordre sur les entiers et addition ; récurrences à partir d'un certain rang ; récurrence bien fondée ; bon ordre et descente infinie
  • seconde feuille de TD (exemples de récurrence, bon ordre), rédigée par Samy Abbes.
• semaine 4 : 17/02/10
  • Caractérisation de N comme ensemble ordonné (bon ordre + tout entier non nul est le successeur d'un entier).
  • Théorie des ensembles : paradoxes de Russell et de Berry ; le langage de la théorie des ensembles (approche informelle) ; les premiers axiomes (extensionnalité et compréhension restreinte).
  • Problème n° 1 : énoncé de l'examen partiel de 2009, à rendre le 3 mars.
• semaine 5 : 24/02/10
  • Théorie des ensembles : les premiers axiomes de Zermelo (suite), paire, union, ensemble des parties ; intersection ; algèbre de Boole des parties d'un ensembles ; codage des couples.
• semaine 6 : 3/03/10
  • Théorie des ensembles : codage des couples (démonstrations), produits cartésiens, relations binaires, fonctions, familles ...
• semaine 7 : 10/03/10
  • Axiome de l'infini ; définition des entiers de von Neumann ; propriété de récurrence (pour des propriétés énoncées dans le langage de la théorie des ensembles) ; l'appartenance est un ordre total strict dont l'ordre large associé est l'inclusion sur les entiers de von Neumann ; la fonction successeur est strictement croissante, et donc injective pour cet ordre, les entiers de von Neumann vérifient donc les axiomes de Peano (pris relativement à la théorie des ensembles) ; système de Peano ; démonstration du principe de définition par récurrence (pour un système de Peano) ; deux systèmes de Peano sont isomorphes.
• semaine 8 : 17/03/10
  • Cardinalité finie : définition de fini (en bijection avec un entier) ; unicité du cardinal d'un ensemble fini ;tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini et de cardinalité inférieure ou égale à l'ensemble de départ ; principe des tiroirs de Dirichlet ; cardianlité finie et opérations ensemblistes ; tout sous-ensemble de N est fini ou en bijection avec N.
• semaine 9 : 24/03/10
  • Cardinalité : ensembles infinis ; relations d'équipotence et de subpotence ; comparaison de cardinaux (comme façon de parler de l'équipotence et de la subpotence) ; la non dénombrabilité des fonctions de N dans {0,1}, de R, ... ; théorème de Cantor ; théorème de Cantor-Bernstein.
  • Partiel le 25/03/10
• semaine 10 : 31/03/10
  • Axiome du choix et premières applications à la cardinalité ; la réunion d'une famille dénombrable d'ensemble dénombrable est dénombrable ; un ensemble infini contient un sous-ensemble dénombrable ; axiome du choix dénombrable, axiome du choix dépendant.
• semaine 11 : 7/04/10
  • Correction de quelques questions du partiel.
  • cardinalité et opérations (union disjointe, produit cartésien, ensemble des fonctions de A dans B)
  • Lemme de Zorn : énoncé ; application à la comparabilité cardinale ; théorème de Zermelo (démonstration esquissée).
• semaine 12 : 14/04/10
  • Lemme de Zorn appliqué au théorème de la base incomplète ; démonstration du lemme de Zorn (polycopié) ; théorème de Zermelo ; équivalence entre l'axiome du choix, le lemme de Zorn, et le théorème de Zermelo relativement aux axiomes de la théorie des ensembles.
• semaine 13 : 5/05/10
  • Introduction à la logique du premier ordre : signature, langage du premier ordre, structure, interprétation dans une structure. Théories, exemples. Déduction (sémantique).
• semaine 14 : 12/05/10
  • Logique du premier ordre : un exemple d'élimination des quantificateurs.

• Mercredi 19 mai, 8h30-11h30, salle 376F : examen (première session).

Bibliographie

Théorie des ensembles

• Début du cours : polycopié Axiomatisation de l'arithmétique (Axiomes de Peano).
• J.L. Krivine, Logique et Théories Axiomatiques (LTA), cours polycopié, Université de Paris 7, vous pouvez accéder en ligne à une transcription de la première partie, Éléments de théorie des ensembles.
• P. Halmos, Naive set theory paru en 1960, traduit en Français sous le titre : Introduction à la théorie des ensembles en 1967 chez Gauthier-Villars (réimpression chez Jacques Gabay 1997).

Calcul des prédicats

• Polycopié : Une introduction au calcul des prédicats du premier ordre.

(dernière modification le mercredi 16/05/2012, 21:17:28 CEST)