Méthodes axiomatiques

L3 mathématiques pour l'enseignement
semestre 2 (3 ECTS)
voir Méthodes axiomatiques sur la page des licences de l'UFR

Année 2021-2022

Cours-TD vendredi 21/01 de 12h30 à 14h30, salle 2022, puis de 10h45 à 12h45 salle 477F (Halle à la Farine), sauf le 25/03, salle 106 bâtiment Lavoisier (voir l'emploi du temps, qui est toujours à jour) ; premier cours le 21/01/.

• semaine 1 : 21/01/2022
  • Polycopié (cours et exercices) : axiomatisation de l'arithmétique (axiomes de Peano).
  • Introduction. Définitions inductives ; exemple, intersection de tous les ensembles ayant une certaine propriété qui passe à l'intersection.
  • Les entiers naturels : vus comme structure définie inductivement ; axiomatisation de l'arithmétique (Dedekind-Peano) ; démonstration par récurrence ; existence et unicité d'une fonction définie par récurrence (démonstration à poursuivre).
  • Exercices pour la semaine prochaine : exercices 1 et 2 du polycopié pages 3 et 4, à remettre sur le dépôt moodle avant le mercredi 26/01, 23h59.
• semaine 2 : 28/01/2022
  • Correction de l'exercice 1
  • existence et unicité d'une fonction définie par récurrence (fin de la démonstration) ; définition par récurrence avec paramètres ; application : définition de l'addition, de la multiplication et de l'exponentation.
  • Pour la semaine prochaine : exercice 4 du polycopié (sauf l'associativité déjà corigée).
• semaine 3 : 04/02/2022 en salle 1015 SG
  • Correction de l'exercices 4, indications pour l'exercice 6.
  • Définition par récurrence avec paramètre dépendant de l'argument : exemple de la factorielle, définition de [[0,n]] par récurrence avec paramètre dépendant de l'argument ; définition de l'ordre sur ℕ ; axiomes d'ordre, d'ordre total.
  • Pour la semaine prochaine : me renvoyer les exercices 6 et 7 (dépôt moodle), l'exercice 5 qui est dans le style du 4 est à voir.
• semaine 4 : 11/02/2022
  • Correction exercices 6 et 7.
  • Propriétés usuelles de l'ordre (ordre, totalité, liens vec l'ordre strict associé).
  • Récurrence à partir d'un certain rang.
  • Pour la semaine prochaine, me renvoyer l'exercice 8 (ii) du polycopié ((i) fait en cours).
• semaine 5 : 18/02/2022
  • Récurrence forte ; propriété de récurrence bien fondée sur ℕ; ensemble bien ordonné ou bon ordre ; ℕ est bien ordonné ; axiomatisation des entiers par l'ordre. Brèves indications sur la construction de ℤ, ℚ et ℝ.
  • Pour la semaine prochaine, me renvoyer l'exercice 9 du polycopié.
• semaine 6 : 25/02/2022
  • Feuille d'exercices 2 (ensembles ordonnés).
  • Corrigé de l'exercice 9 du polycopié (en ligen sur moodle). Diagrammes de Hasse : feuille 2 exercice 1 (indications seulement); exemples d'ordres partiel/total, exercice 2; isomorphismes d'ordre, plongements, prolongements (exemples et contre-exemples) ; exercices 3, 4.1 et 4.2 ; 5 (indications).
• Semaine de pause de l'UFR de math 04/03/2022
• semaine 7 : 11/03/2022
  • Partiel 14h00-15h00 salle 2011, Sophie Germain. (le cours a lieu le matin comme d'habitude).
  • Opérations sur les ordres : somme linéaire et ordre lexicographique sur le produit (exercices 5, 6 et 7.
  • À rendre pour le 25/03 : exercice 9 de la feuille 2. Remarque : tous les ensembles en questions sont évidemment totalement ordonnés par l'ordre usuel sur ℚ, comme sous-ensembles de ℚ, vous n'avez à traiter que la propriété de bon ordre.
  • Introduction à la théorie des ensembles : compréhension, extensionnalité, les paradoxes de Russell et de Berry.
• semaine 8 : 18/03/2022
  • Opérations ensemblistes et théorie des ensembles : présentation informelle des premiers axiomes de Zermelo (extensionnalité, compréhension bornée, réunion, paire, axiome des parties) et opérations ensemblistes associées. Couples, produit cartésien ; relation et fonction. Axiome de l'infini et axiome du choix évoqués.
  • Polycopié : théorie des ensembles et opérations ensemblistes.
  • Feuille d'exercices 3 (théorie des ensembles et opérations ensemblistes), l'exercice 4 a été posé en cours. Vous pouvez réfléchir aux exercice 2 et 3.
• semaine 9 : 25/03/2022
  • Correction des exercices 1.1, 2, 3 et 4 feuille 3.
  • Opérations ensemblistes et théorie des ensembles : famille ; intersection, réunion, produit cartésien d'une famille d'ensembles.
  • Cardinalité : équipotence (être en bijection, noté ~), subpotence (il existe une injection, notée ≼), subpotence stricte (il existe une injection mais pas de bijection, notée ≺) ; théorème de Cantor-Bernstein (énoncé).
• semaine 10 : 1/04/2022
  • À partir du 1/04 et jusqu'à la fin du semestre, les cours ont lieu en salle 2013, au bâtiment Sophie Germain.
  • Argument diagonal : aucune fonction de E dans 𝒫(E) n'est surjective, d'où E ≺ 𝒫(E) : théorème de Cantor ; reformulation pour E ≺ {0, 1}^E ; adaption pour aucune fonction de ℕ dans [0,1[ n'est surjective, donc ℝ n'est pas en bijection avec ℕ.
  • Feuille d'exercices 4 (cardinalité), voir le premier exercice.
• semaine 11 : 08/04/2022
  • Correction des exercices 1 et 2 de la feuille 4.
  • Théorème de Cantor-Bernstein : admis provisoirement.
  • Cardinalité et opérations ensemblistes :
    • les opérations ensemblistes usuelles sont compatibles avec la relation d'équipotence, on a en particulier :
      si A ~ A' et B~B', alors A ⊎ B ~ A' ⊎ B'   et   A × B ~ A' × B'   et   A^B ~ A' ^B'
    • A^{B ⊎ C} ~ (A^B) × (A^C)   et   (A^B)^C ~ A^{B × C}.
  • Un ensemble A est fini s'il existe un entier n tel que A est en bijection avec {x ∈ ℕ | 1 ≤ x ≤ n } ; si A est fini, il existe un unique entier n tel que A est en bijection avec {x ∈ ℕ | 1 ≤ x ≤ n } (admis, démonstration voir poly), appelé le cardinal de A ; lemme des tiroirs de Dirichlet.
  • Ensembles dénombrables : un sous-ensemble d'un ensemble dénombrable ets fini ou dénombrable ; ℕ ~ ℕ ⊎ ℕ ; ℕ ~ ℕ × ℕ.
  • Pour la semaine prochaine : exercices 3, 4 et 6 de la feuille 4.
  • Tout ce qui a été fait en cardinalité jusqu'à ce jour est au programme du partiel du 15/04., ainsi que les chapitres sur les ordres et les opérations ensemblistes.
  • Polycopié sur la cardinalité
• semaine 12 : 15/04/2022
  • Partiel 14h00-15h00 salle 2011, Sophie Germain.. (le cours a lieu le matin comme d'habitude).
  • Théorème de Cantor-Bernstein et démonstration ; utilisation pour ℚ ~ ℕ, ℝ ~ {0,1}^ℕ (~ 𝒫(ℕ)) ...
  • Cardinalité dénombrable : la réunion d'un ensemble fini ou dénombrable et d'un ensemble dénombrable est dénombrable ; une réunion finie d'ensembles dénombrables est dénombrable, de même pour un produit cartésien fini ; une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable (demande l'axiome du choix).
  • ℝ^ℕ ~ ℕ^ℕ ~ ℝ
  .
• semaine 13 : 22/04/2022
  • Correction du partiel 2 et des exercices restant de la feuille 4.
• Partiel final 13 mai 10h00-12h00 salle 1009, Sophie Germain. (2 heures). Au programme : l'ensemble de ce qui a été vu ce semestre, en particulier ce qui est résumé sur cette page. Les polycopiés disponibles sur cette page sont autorisés (axiomatisation de l'arithmétique, théorie des ensembles et opérations ensemblistes et cardinalité).

Bibliographie

Un polycopié sera fourni. Pour des compléments en théorie des ensembles et cardinalité, voir les deux ouvrages suivant.

• J.L. Krivine, Logique et Théories Axiomatiques (LTA), cours polycopié, Université de Paris 7, vous pouvez accéder en ligne à une transcription de la première partie consacrée à la théorie des ensembles, Éléments de théorie des ensembles.
• P. Halmos, Naive set theory paru en 1960, traduit en français sous le titre : Introduction à la théorie des ensembles en 1967 chez Gauthier-Villars (réimpression chez Jacques Gabay 1997).

dernière modification : lundi 9 mai 2022 15:16:27 CEST