DyCoNum - Études diophantiennes, dynamiques et combinatoires de différentes numérations
Projet
ANR « Jeunes chercheuses et jeunes chercheurs »
ANR-06-JCJC-0073
2006 - 2010
Équipe
Boris Adamczewski
(Lyon, ICJ)
Christiane Frougny
(Paris, LIAFA)
Anne
Siegel (Rennes, IRISA)
Wolfgang Steiner
(Paris, LIAFA,
coordinateur)
Rencontres organisées par l'équipe
Aspects dynamiques de la numération, LIAFA, 4 au 6 décembre 2006
Generalized substitutions, tilings and numeration, Porquerolles, 11 au 13 juin 2007
Développements récents en approximation diophantienne, CIRM, 8 au 12 octobre 2007
Journées Numération 2008, ČVUT (Prague), 26 au 30 mai 2008
Numération : Mathématiques et Informatique, CIRM, 27 au 30 mars 2009
Session Numération des RAIM'09 : 3es Rencontres Arithmétique de l'Informatique Mathématique, LIP (ENS Lyon), 26 octobre 2009
Digital expansions, dynamics and tilings, Aussois, 4 au 11 avril 2010
Rencontres portant sur des thèmes connexes
Journées de Numération Graz 2007, TU Graz, 16 au 20 avril 2007
Dynamical
Aspects of Number Systems 2008, IAC (Rome), 6 au 8 février 2008
Numeration, Lorentz Center (Leiden), 7 au 18 juin 2010
Description du projet
Les systèmes de numération tels que les représentations
b-adiques ou les fractions continues permettent de représenter les
éléments d'un ensemble donné (entiers naturels,
réels, complexes, nombres p-adiques, séries formelles) de
manière unifiée sous une forme combinatoire : leur suite de
chiffres. La question suivante est alors très naturelle : peut-on
reconnaître le développement de certaines constantes classiques,
telles que π, ζ(3), ln(2), ou à défaut
déterminer certaines propriétés combinatoires de
ces développements? Pour les nombres algébriques, il existe un
principe conjectural très général révélant
une forte dichotomie : ces nombres devraient soit avoir une
représentation triviale (c'est-à-dire ultimement
périodique), soit avoir une représentation chaotique. Plusieurs
conjectures importantes en théorie des nombres entrent dans ce
cadre : le développement b-adique d'un nombre
algébrique irrationnel satisfait-il à certaines lois
vérifiées par presque tout nombre réel (E. Borel,
1950) ? Un nombre algébrique de degré au moins 3 peut-il
avoir des quotients partiels bornés dans son développement en
fraction continue (A. Ya. Khintchine, 1949) ?
Généralement, les développements périodiques
caractérisent un sous-ensemble de nombres algébriques comme
l'illustre par exemple le théorème d'Euler-Lagrange sur les
fractions continues. Cependant, si on remplace l'entier b dans un
développement b-adique par un nombre algébrique beta, les
représentations périodiques sont plus difficiles à
caractériser : 1 n'est même plus assuré
d'avoir un développement périodique. Le cas de la base 3/2
est un exemple emblématique, source de problèmes difficiles.
- Un premier intérêt des développements
périodiques provient du fait que les nombres sous-jacents sont
déterminés par une quantité finie
d'information ; cela permet d'en déduire de nombreuses
propriétés et de les rendre explicites. L'étude de ces
développements est également motivée par celle des
nombreux objets répétitifs qui leur sont associés
(systèmes dynamiques auto-induits, pavages...), et par le fait qu'ils
induisent la construction de structures apériodiques simples et riches,
intervenant par exemple dans la modélisation des quasi-cristaux.
- Les représentations apériodiques des nombres
algébriques sont encore plus mystérieuses. Le principe de
dichotomie prédit que ces développements sont chaotiques. En
exploitant les systèmes dynamiques sous-jacents aux systèmes de
numération (comme ceux associés à la transformation
x -> bx mod 1 ou à l'application de Gauss), la
théorie ergodique permet de formaliser cette notion de
« suite de chiffres complexe » grâce aux nombres
normaux qui, par définition, sont les points génériques
pour la transformation associée. Le principe de dichotomie devient
alors : un nombre algébrique est soit ultimement périodique,
soit générique. A contrario, on considère qu'un
nombre est « anormal » s'il est
représenté par un développement apériodique mais
très régulier (produit par exemple par un algorithme simple).
Démontrer la transcendance de tels nombres présente ainsi un
grand intérêt.
Le but de ce projet est de considérer transversalement
différents systèmes de numération. En particulier, les
représentations en base entière, standard et non-standard, les
beta-numérations et les numérations de type
« Dumont-Thomas », les fractions continues et leurs
généralisations forment une liste non-exhaustive de
numérations que nous souhaitons étudier. Bien que la
variété des questions abordées nécessite la
maîtrise de techniques très différentes, nous souhaitons
proposer une approche permettant d'exhiber certaines questions
générales ainsi que des méthodes communes.
- Une première tâche consiste à unifier les
résultats (pour le moment très disparates) entrant dans le cadre
du principe de dichotomie. Il s'agit aussi bien de mener des
investigations numériques pour tester certaines conjectures, que
d'offrir un cadre conjectural commun et formel grâce à la
théorie des systèmes dynamiques, ou d'obtenir des
résultats de transcendance à l'aide d'outils
diophantiens comme le théorème du sous-espace de
W. M. Schmidt.
- Un autre aspect du projet consiste à caractériser
algébriquement les développements périodiques dans
différents systèmes de numération, avec un point de vue
géométrique et dynamique, inspiré par les
propriétés d'auto-similarité associées
à la périodicité. Lorsqu'une telle
caractérisation s'avère trop délicate, il est
intéressant d'étudier les propriétés de
stabilité par addition et multiplication des développements
périodiques. La théorie des automates est alors susceptible
d'offrir un cadre adapté à la résolution de ces
questions.
- Enfin, chaque système de numération possède ses
propres spécificités. Elles en motivent l'étude et
sont sources d'applications particulières : arithmétique des
ordinateurs, approximation diophantienne, approximation simultanée,
modèles pour des quasi-cristaux, représentations
d'applications pseudo-Anosov... De ce point de vue, les systèmes de
numérations interagissent avec de nombreux sujets et nous souhaitons
informer les différentes communautés de l'existence de
points de vue intéressants dans des domaines voisins.
Ce projet bénéficie en particulier de la dynamique
insufflée par son prédécesseur intitulé
« Numération » (programme ACI NIM 2004-2007).
Dernière mise à jour : 29 juin 2010