DyCoNum - Études diophantiennes, dynamiques et combinatoires de différentes numérations

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Description du projet

Généralement, les développements périodiques caractérisent un sous-ensemble de nombres algébriques comme l'illustre par exemple le théorème d'Euler-Lagrange sur les fractions continues. Cependant, si on remplace l'entier b dans un développement b-adique par un nombre algébrique beta, les représentations périodiques sont plus difficiles à caractériser : 1 n'est même plus assuré d'avoir un développement périodique. Le cas de la base 3/2 est un exemple emblématique, source de problèmes difficiles.

• Un premier intérêt des développements périodiques provient du fait que les nombres sous-jacents sont déterminés par une quantité finie d'information ; cela permet d'en déduire de nombreuses propriétés et de les rendre explicites. L'étude de ces développements est également motivée par celle des nombreux objets répétitifs qui leur sont associés (systèmes dynamiques auto-induits, pavages...), et par le fait qu'ils induisent la construction de structures apériodiques simples et riches, intervenant par exemple dans la modélisation des quasi-cristaux.
  
• Les représentations apériodiques des nombres algébriques sont encore plus mystérieuses. Le principe de dichotomie prédit que ces développements sont chaotiques. En exploitant les systèmes dynamiques sous-jacents aux systèmes de numération (comme ceux associés à la transformation x -> bx mod 1 ou à l'application de Gauss), la théorie ergodique permet de formaliser cette notion de « suite de chiffres complexe » grâce aux nombres normaux qui, par définition, sont les points génériques pour la transformation associée. Le principe de dichotomie devient alors : un nombre algébrique est soit ultimement périodique, soit générique. A contrario, on considère qu'un nombre est « anormal » s'il est représenté par un développement apériodique mais très régulier (produit par exemple par un algorithme simple). Démontrer la transcendance de tels nombres présente ainsi un grand intérêt.

Le but de ce projet est de considérer transversalement différents systèmes de numération. En particulier, les représentations en base entière, standard et non-standard, les beta-numérations et les numérations de type « Dumont-Thomas », les fractions continues et leurs généralisations forment une liste non-exhaustive de numérations que nous souhaitons étudier. Bien que la variété des questions abordées nécessite la maîtrise de techniques très différentes, nous souhaitons proposer une approche permettant d'exhiber certaines questions générales ainsi que des méthodes communes.

• Une première tâche consiste à unifier les résultats (pour le moment très disparates) entrant dans le cadre du principe de dichotomie. Il s'agit aussi bien de mener des investigations numériques pour tester certaines conjectures, que d'offrir un cadre conjectural commun et formel grâce à la théorie des systèmes dynamiques, ou d'obtenir des résultats de transcendance à l'aide d'outils diophantiens comme le théorème du sous-espace de W. M. Schmidt.
  
• Un autre aspect du projet consiste à caractériser algébriquement les développements périodiques dans différents systèmes de numération, avec un point de vue géométrique et dynamique, inspiré par les propriétés d'auto-similarité associées à la périodicité. Lorsqu'une telle caractérisation s'avère trop délicate, il est intéressant d'étudier les propriétés de stabilité par addition et multiplication des développements périodiques. La théorie des automates est alors susceptible d'offrir un cadre adapté à la résolution de ces questions.
  
• Enfin, chaque système de numération possède ses propres spécificités. Elles en motivent l'étude et sont sources d'applications particulières : arithmétique des ordinateurs, approximation diophantienne, approximation simultanée, modèles pour des quasi-cristaux, représentations d'applications pseudo-Anosov... De ce point de vue, les systèmes de numérations interagissent avec de nombreux sujets et nous souhaitons informer les différentes communautés de l'existence de points de vue intéressants dans des domaines voisins.

Ce projet bénéficie en particulier de la dynamique insufflée par son prédécesseur intitulé « Numération » (programme ACI NIM 2004-2007).

Dernière mise à jour : 29 juin 2010