Notre point de départ a été un résultat de Nabawanda et Rakotondrajao prouvant que les partitions de l’ensemble [n] dans lesquelles aucune fusion de blocs n’est possible sont comptées par B_{n-1}, où B_n désigne le n-ème nombre de Bell, qui compte toutes les partitions de l’ensemble [n]. Ce résultat repose sur une bijection entre l’ensemble des partitions de [n-1] et celui des partitions “sans fusion” de [n]. Nous avons cherché à généraliser ce résultat aux partitions d’entiers de type B, qui sont comptées par les nombres de Dowling D_n.

Buck et al. s’étaient déjà intéressés à cette généralisation. Étant donné que les partitions sans fusion sont équivalentes aux permutations triées par runs, ils ont établi que l’ensemble des permutations de Stirling triées par runs sur n est compté par le nombre de Dowling D_{n-1} .

Dans notre quête d’une généralisation de ce résultat tout en restant dans la famille des partitions d’ensembles, nous avons identifié plusieurs classes de partitions de type B sur ⟨n⟩, toutes de taille D_{n-1}. Nous avons établi des bijections directes entre ces différents ensemble, y compris avec celui des permutations de Stirling triées par runs. Dans certains cas, l’étude de la distribution de certaines statistiques sur ces familles a conduit à des résultats intéressants.

Après une introduction historique, j'expliquerai comment tirer une surface hyperbolique aléatoire (uniforme) de genre g. On se penchera ensuite sur le spectre de longueurs. Plus précisément, on regardera les géodésiques fermées courtes sur une surface hyperbolique aléatoire de genre g. Il se trouve que, lorsque g est grand, les longueurs de ces géodésiques se distribuent exactement de la même manière que les longueurs des cycles courts dans un graphe aléatoire de très grande taille. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Barazer et Alessandro Giacchetto.

Length spectra of random metric map of large genus: a Teichmüller theory approach.

After a brief historical review, I will explain how to pick a (uniform) random hyperbolic surface of genus g. After that, we will focus on the length spectrum. More specifically, we will examine short closed geodesics on a random hyperbolic surface of genus g. It turns out that, when g is big, the lengths of these geodesics are distributed just like the short cycles in a large random graph. This is a joint work with Simon Barazer and Alessandro Giacchetto.