Résumé : Nous prouvons que tout semigroupe fini est
quotient d'un semigroupe fini dans lequel les stabilisateurs droits
satisfont les identités x = x2 et xy = xyx.
Ce résultat a plusieurs conséquences. Nous donnons tout
d'abord une application géométrique : tout semigroupe de
transformation fini a un revêtement sans point fixe (un semigroupe de
transformation est dit sans point fixe si tout élément qui
stabilise un point est idempotent). Puis nous utilisons notre
résultat, ainsi qu'un résultat de I. Simon sur les
congruences de chemins, pour obtenir une preuve purement algébrique
d'un théorème profond de McNaughton sur les mots infinis.
Enfin, nous donnons une preuve algébrique d'un
théorème de Brown sur des conditions de finitude pour les
semigroupes.
Abstract : We show that every finite semigroup is a quotient of a
finite semigroup in which every right stabilizer satisfies the identities
x = x2 and xy = xyx. This result has several
consequences. We first give a geometrical application : every finite
transformation semigroup has a fixpoint-free covering (a transformation
semigroup is fixpoint-free if every element which stabilizes a point is
idempotent). Next we use our result and a result of I. Simon on
congruences on paths to obtain a purely algebraic proof of a deep theorem
of McNaughton on infinite words. Finally, we give an algebraic proof of a
theorem of Brown on a finiteness condition for semigroups.