Upper set monoids and length
preserving morphisms.
Antonio Cano and Jean-Éric Pin
Résumé : Les morphismes alphabétiques et les
inverses de substitution sont deux opérations bien connues sur les
langages rationnels. Leur lien avec les variétés
engendrées par les monoïdes de parties a été
établi indépendamment par Reutenauer et par Straubing en
1979. Plus récemment, une version ordonnée de cette
théorie a été proposée par Polák et par
les auteurs. Dans cet article, nous présentons une version
améliorée de ces résultats dont nous obtenons les
conséquences suivantes. Étant donné une
variété de monoïdes ordonnés finis V, soit
P↑V la variété de monoïdes
ordonnés finis engendrée par les monoïdes des parties
closes par le haut des membres de V. Alors
P↑(P↑V) =
P↑V. Ce résultat fait contraste avec les
résultats connus dans le cas non ordonné: l'opérateur
PV correspondant au monoïde des parties satisfait
P3V = P4V, mais les
variétés V, PV, P2V et
P3V peuvent être distinctes.
Abstract : Length preserving morphisms and inverse of substitutions
are two well-studied operations on regular languages. Their connection with
varieties generated by power monoids was established independently by
Reutenauer and Straubing in 1979. More recently, an ordered version of this
theory was proposed by Polák and by the authors. In this paper, we
present an improved version of these results and obtain the following
consequences. Given a variety of finite ordered monoids V, let
P↑V be the variety of finite ordered monoids
generated by the upper set monoids of members of V. Then
P↑(P↑V) =
P↑V. This contrasts with the known results for the
unordered case: the operator PV corresponding to power monoids
satisfies P3V = P4V, but the varieties
V, PV, P2V and P3V can be
distinct.