Résumé : Nous considérons les uniformités associées à
une variété de monoïdes finis V, mais nous
travaillons avec des monoïdes arbitraires et pas seulement avec des
monoïdes libres ou profinis libres. On s'intéresse dans cet
article à deux questions générales sur ces structures
uniformes et à quelques questions plus spécialisées.
La première question est de savoir si ces uniformités peuvent
être définies par une métrique ou par une
pseudométrique. La seconde question est la description des fonctions
continues et uniformément continues. Nous donnons d'abord une
caractérisation de ces fonctions en termes de parties
reconnaissables et nous utilisons ce résultat pour étendre un
résultat de Reutenauer et Schützenberger sur les fonctions
continues pour la topologie pro-groupe. Nous introduisons ensuite la notion
de continuité héréditaire et nous discutons la
préservation de nos trois principales propriétés
(continuité, uniforme continuité, continuité
héréditaire) par composition, produit et exponentiation.
Dans la dernière partie, nous analysons les propriétés
de V-uniforme continuité lorsque V est l'intersection
ou l'union d'une famille de variétés et nous discutons en
détail du cas où V est commutative.
Abstract : We consider uniformities associated with a
variety of finite monoids V, but we work with arbitrary monoids and
not only with free or free profinite monoids. The aim of this paper is to
address two general questions on these uniform structures and a few more
specialized ones.
A first question is whether these uniformities can be defined by a metric
or a pseudometric. The second question is the description of continous and
uniformly continuous functions. We first give a characterization of these
functions in term of recognizable sets and use it to extend a result of
Reutenauer and Schützenberger on continuous functions for the
pro-group topology. Next we introduce the notion of hereditary continuity
and discuss the behaviour of our three main properties (continuity, uniform
continuity, hereditary continuity) under composition, product or
exponential.
In the last section, we analyse the properties of V-uniform
continuity when V is the intersection or the join of a family of
varieties and we discuss in some detail the case where V is
commutative.