On peut définir les polygraphes dans des cadres assez généraux. Par exemple si M est une monade sur une catégorie de préfaisceaux sur une catégorie I dirigée, on peut définir une notion de M-polygraphe. Si M a de bonnes propriétés (fortement cartésienne) alors la catégorie des M-polygraphes a des propriétés très similaires à la catégorie des polygraphes ordinaires.

Dans cet exposé on va étudier une version infini-catégorique de cette construction. On partira d'une monade M fortement cartésienne sur un infini topos, et on construira une infini-catégorie de M-polygraphes. Le cas de la monades infini-catégories strictes agissant sur la catégorie des espaces globulaires donne une version homotopique des polygraphes ordinaires.

On montrera que l'infini-catégorie M-polygraphes a toujours de très bonnes propriétés, qu'on aimerait avoir pour les polygraphes ordinaires mais qui échouent en dimension >2. En particulier les M-polygraphes forment un infini-topos (et si M agit sur une catégorie de préfaisceaux, les M-polygraphes forment une infini-catégorie de préfaisceaux). Si le temps le permet, on montrera comment ces polygraphes homotopiques sont reliés aux polygraphes ordinaires et permettent de déduire des résultats sur les polygraphes ordinaires.

Il y a plusieurs caractérisations algébriques (dites “axiomatiques”) de l'entropie discrète de Shannon. Je vais présenter ici une caractérisation analogue pour l'entropie différentielle, qui apparaît dans la théorie de compression des signaux continus: le cadre utilisé est la “cohomologie de l'information”, associé aux préfaisceaux sur certaines structures combinatoires. Si le temps le permet, je vais présenter d'autres théories cohomologiques des faisceaux très proches, définies sur les graphes (Friedman) et les complexes simpliciaux (Abramsky et al.), qui correspondent aussi à la cohomologie des topos.

Un résumé de l'exposé est accessible à l'adresse :

https://www.irif.fr/~metayer/GDT/resume_18_10_19.pdf

I will talk about a model of weak omega-categories built around the combinatorics of pasting diagrams. The goal is to have a framework where higher-dimensional theories explicitly presented by generators (or higher-dimensional rewrite systems) can be interpreted directly in general higher categories. The talk is based on arXiv preprint 1909.07639.

Si, il y a 10.000 ans, il y avait un mot pour désigner un troupeau de moutons, ce mot voulait aussi dire «ensemble», même si cette notion d'ensemble était moins abstraite que celle que Bolzano, Dedekind et Cantor introduisirent à la fin du XIXe siècle. On pourrait croire qu'après la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, la question de savoir ce qu'est un ensemble était close. Ce n'est pas le cas comme le remarque par exemple Quine, auteur d'une théorie alternative, qui dit dans les années 60 que la question est toujours ouverte. Une nouvelle impulsion sera donnée par Lawvere avec sa théorie axiomatique de la catégorie des ensembles, et surtout par Lawvere et Tierney avec la notion de topos élémentaire. Cette dernière notion inspirera Volger, puis Lambek, qui définira la notion de «dogme». J'ai rebaptisé leur théorie en «théorie des ensembles de Volger-Lambek». J'en donnerai une description et j'expliquerai pourquoi elle est, à condition qu'elle soit un peu généralisée, la bonne théorie de formalisation non seulement des ensembles, mais de toute la mathématique telle que nous la pratiquons aujourd'hui.

When defining a monoid structure on an arbitrary type in HoTT, one should require a multiplication that is not only homotopy-associative, but also has an infinite tower of higher homotopies. For example in dimension two one should have a condition similar to Mac Lane’s pentagon for monoidal categories. We call such a monoid a monoid up to coherent homotopy. The goal of my internship in Stockholm was to formalize them in Agda. It is well-known that infinite towers of homotopies are hard to handle in plain HoTT, so we postulate a variant of two-level type theory, with a strict equality and an interval type. Then we adapt the set-theoretical treatment of monoids up to coherent homotopy using operads as presented by Clemens Berger and Ieke Moerdijk [1,2].

Our main results are: (a) Monoids up to coherent homotopy are invariant under homotopy equivalence (b) Loop spaces are monoids up to coherent homotopy.

In this talk I will present the classical theory of monoids up to coherent homotopy, and indicates how two-level type theory can be used to formalize it.

References

1. Axiomatic homotopy theory for operads (arxiv.org/abs/math/0206094)

2. The Boardman-Vogt resolution of operads in monoidal model categories (arxiv.org/abs/math/0502155)

Travail en commun avec Djordje Baralić, Marina Milićević, Jovana Obradović, Zoran Petrić, Mladen Zekić et Rade Zivaljević

Une situation de Menelaüs est la donnée d'un triangle (non dégénéré) et de points pris sur les trois lignes supportant le triangle qui sont alignés. On peut voir ces trois points comme des témoins des 1-cellules du triangle. Prenons maintenant un ensemble simplicial, satisfaisant certaines conditions garantissant notamment que sa réalisation est une 2-variété. Prenons une interprétation de toutes les 0-cellules et 1-cellules par des points dans le plan (euclidien ou projectif). Alors la présence d'une situation de Menelaüs sur tous les triangles de l'interprétation sauf un induit une situation de Menelaus sur le dernier. C'est cette observation, dûe à Jürgen Richter-Gebert, qui nous a conduit à introduire un syst!me logique (plus précisément un calcul des séquents) “cyclique”, ainsi qu'une opérade cyclique dite de Menalaüs, dont nous avons cru un bon moment qu'elle était libre, jusqu'à trouver un contre-exemple. Nous en donnons une présentation par générateurs et relations.

Je présenterai rapidement des affaiblissements de la notion de “catégorie de modèles de Quillen” (les semi catégories de modèle à gauche et à droite et les structures de modèles faibles) et je parlerai de plusieurs (nouveaux) théorèmes permettant de construire facilement des catégories de modèles. Notamment, j'espère présenter des solutions (au moins dans le cadres des semi-catégorie de modèles) à deux vieux problèmes en théorie des catégorie de modèles: l'existence des structures de modèles déterminés à gauche (et plus généralement: étendre la théorie des structures de modèles de Cisinski à toutes les catégorie présentable) et, si le temps le permet, la construction d'une “catégorie de modèle des catégories de modèles”.

This talk is a sequel of the talk I gave on November 30th 2018, when I introduced an explicit combinatorial characterization of the minimal model of the coloured operad encoding non-symmetric operads. Having identified the family of polytopes whose elements display the homotopies relating different ways of composing the nodes of rooted trees, a question of characterizing homotopy polytopes of more general graphs arises. In this talk, I will answer that question for unrooted trees by introducing a combinatorial resolution of the coloured operad encoding non-symmetric cyclic operads. The algebras over this resolution yield a notion of strongly homotopy cyclic operads for which both the relations for the partial composition operations, and the relation for the action of cyclic permutations that permutes the factors of the composition, are coherently relaxed up to homotopy. The operations of this resolution are faces of polytopes that can be characterized as Cartesian products of n-dimensional operatic polytopes and (n+1)-dimensional hypercubes.

In 1985, David Anick introduced a combinatorial construction of chains which can be used to compute various homological invariants of an associative algebra from a good presentation of it by generators and relations. In particular, for algebras with monomial relations, his construction produces those invariants directly.

In this talk, I will explain how to compute a rich algebraic structure on Anick chains leading to the explicit formula for a minimal dg model for any monomial algebra. This is a replacement of an algebra by a differential graded algebra with the same homological properties. This computation relies on the algebraic discrete Morse theory of Jöllenbeck, Welker and Sköldberg and on homotopy transfer formulas; those are formulas perfectly suited for homological computations where the underlying chain complexes are of combinatorial nature. Prior knowledge of these techniques is not required, as they will be explained along the way.

Our work suggests a conjectural answer to obtain possibly non-minimal (yet small) models for algebras with a Groebner basis that I will also discuss.

The talk is based on the paper available at https://maths.tcd.ie/~pedro/MON19.pdf

Cet exposé est la suite de celui du 11 janvier ; cependant, il sera accessible aux nouveaux auditeurs.

L’exposé commencera avec des rappels sur les monades à arités et leurs “théories de Lawvere généralisées” et expliquera le rôle de l’argument du petit objet (pour les systèmes de factorisation orthogonale) dans leur description. Ces notions se généralisent aux \infty-catégories ((\infty,1)-catégories), et j’essaierai de les décrire dans le cadre des \infty-catégories localement présentables présentées par des catégories de modèles simpliciales.

L’exposé continuera avec l’exemple de la monade (à arités) de Set-opérade (symétrique colorée) libre sur une Set-collection, dont la généralisation exhibe l’\infty-catégorie des \infty-opérades comme une \infty-catégorie d’algèbres pour la même “théorie de Lawvere généralisée”.

Hofmann a prouvé en 1995 un résultat de conservativité comparant l'axiome d'unicité des preuves d'égalité et les types identité extensionnels en théorie des types. Je vais présenter une généralisation de ce résultat dans le contexte plus général des théories algébriques généralisées. Un système de factorisation (cofibrations, fibrations triviales) est défini sur la catégorie des modèles d'une théorie algébrique généralisée, dont les fibrations triviales sont par exemple les morphismes conservatifs entre modèles de théories des types, les isofibrations surjectives sur les objets dans Cat ou les fibrations triviales de la structure de modèle folk sur omega-Cat. Dans ce cadre, une généralisation du théorème de Hofmann se déduit d'une caractérisation des fibrations triviales comme les quotients par une certaine classe de congruences.

A charted omega-category is like a strict omega-category, but instead of a globular set, it has an underlying regular polygraph: its cells have more complex pasting diagrams “charted” on their boundary. Several features of omega-categories generalise nicely, including joins and the monoidal biclosed structure of lax Gray products. I will detail some of the combinatorics involved, going deeper into the theory of globular posets than in my talk last July (which is not a prerequisite).

The first part of the talk will be devoted to showing that Moerdijk-Weiss’s category of dendrices \Omega is a Lawvere theory with arities for the free-operad monad on coloured symmetric Set-valued collections. This demonstration is due to J. Kock, following Weber, and generalises the known example of the category \Delta of simplices as a Lawvere theory with arities for the free-category monad on graphs.

If time permits, the second part will try to generalise this setting to simplicial operads and simplicial (i.e. sSet-enriched) model categories by replacing Set with the category sSet of simplicial sets, following Moerdijk-Weiss and Cisinski-Moerdijk.

The underlying theme is a variant of the small object argument that produces orthogonal factorisation systems (i.e. whose left and right maps lift uniquely against each other). This variant has been presented in a previous talk by M. Anel, and its generalisation to simplicial model categories is left Bousfield localisation.