Groupe de travail

Équipe-projet INRIA $\pi r^2$
Équipe thématique Algèbre et calcul


Jour, heure et lieu

Le vendredi à 14h, salle 1007

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Prochaines séances


Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 13 décembre 2019, 14 heures, Salle 1007
Chaitanya Leena-Subramaniam (IRIF) Opetopic algebras II: Homotopy-coherent opetopic algebras

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 20 décembre 2019, 14 heures, Salle 1007
Simon Henry (Université d'Ottawa) Les polygraphes homotopiques sont des préfaisceaux

On peut définir les polygraphes dans des cadres assez généraux. Par exemple si M est une monade sur une catégorie de préfaisceaux sur une catégorie I dirigée, on peut définir une notion de M-polygraphe. Si M a de bonnes propriétés (fortement cartésienne) alors la catégorie des M-polygraphes a des propriétés très similaires à la catégorie des polygraphes ordinaires.

Dans cet exposé on va étudier une version infini-catégorique de cette construction. On partira d'une monade M fortement cartésienne sur un infini topos, et on construira une infini-catégorie de M-polygraphes. Le cas de la monades infini-catégories strictes agissant sur la catégorie des espaces globulaires donne une version homotopique des polygraphes ordinaires.

On montrera que l'infini-catégorie M-polygraphes a toujours de très bonnes propriétés, qu'on aimerait avoir pour les polygraphes ordinaires mais qui échouent en dimension >2. En particulier les M-polygraphes forment un infini-topos (et si M agit sur une catégorie de préfaisceaux, les M-polygraphes forment une infini-catégorie de préfaisceaux). Si le temps le permet, on montrera comment ces polygraphes homotopiques sont reliés aux polygraphes ordinaires et permettent de déduire des résultats sur les polygraphes ordinaires.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 24 janvier 2020, 14 heures, Salle 1007
Sebastian Posur (Universität Siegen) Methods of constructive category theory

Categorical abstraction is a powerful organizing principle in computer algebra. In this talk, we explain the concept of constructive category theory and how we implement this concept in our software project CAP-Categories, algorithms, programming. In CAP it is possible to implement higher algorithms and data structures using basic categorical operations as primitives, which in turn often rely on classical algorithms in computer algebra like the computation of Gröbner bases. As an example, we show how our categorical framework can be used for computing with finitely presented functors.


Séances passées



Année 2019

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 29 novembre 2019, 14 heures, Salle 1007
Cédric Ho Thanh (IRIF) Opetopic algebras I: Algebraic structures on opetopic sets

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 22 novembre 2019, 14 heures, Salle 1007
Maxime Lucas (INRIA Nantes) La structure de catégorie de modèles folk sur omega-Cat est monoïdale

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 15 novembre 2019, 14 heures, Salle 1007
Juan Pablo Vigneaux (MPI MiS Leipzig) Une caractérisation homologique de l'entropie différentielle

Il y a plusieurs caractérisations algébriques (dites “axiomatiques”) de l'entropie discrète de Shannon. Je vais présenter ici une caractérisation analogue pour l'entropie différentielle, qui apparaît dans la théorie de compression des signaux continus: le cadre utilisé est la “cohomologie de l'information”, associé aux préfaisceaux sur certaines structures combinatoires. Si le temps le permet, je vais présenter d'autres théories cohomologiques des faisceaux très proches, définies sur les graphes (Friedman) et les complexes simpliciaux (Abramsky et al.), qui correspondent aussi à la cohomologie des topos.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 18 octobre 2019, 14 heures, Salle 1007
Léonard Guetta (IRIF) Colimites homotopiques et tranches

Un résumé de l'exposé est accessible à l'adresse :

https://www.irif.fr/~metayer/GDT/resume_18_10_19.pdf

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 4 octobre 2019, 14 heures, Salle 1007
Amar Hadzihasanovic (RIMS Kyoto) Representable diagrammatic sets: a model of weak omega-categories

I will talk about a model of weak omega-categories built around the combinatorics of pasting diagrams. The goal is to have a framework where higher-dimensional theories explicitly presented by generators (or higher-dimensional rewrite systems) can be interpreted directly in general higher categories. The talk is based on arXiv preprint 1909.07639.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 21 juin 2019, 14 heures, Salle 1007
Alain Prouté Qu'est-ce qu'un ensemble ?

Si, il y a 10.000 ans, il y avait un mot pour désigner un troupeau de moutons, ce mot voulait aussi dire «ensemble», même si cette notion d'ensemble était moins abstraite que celle que Bolzano, Dedekind et Cantor introduisirent à la fin du XIXe siècle. On pourrait croire qu'après la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, la question de savoir ce qu'est un ensemble était close. Ce n'est pas le cas comme le remarque par exemple Quine, auteur d'une théorie alternative, qui dit dans les années 60 que la question est toujours ouverte. Une nouvelle impulsion sera donnée par Lawvere avec sa théorie axiomatique de la catégorie des ensembles, et surtout par Lawvere et Tierney avec la notion de topos élémentaire. Cette dernière notion inspirera Volger, puis Lambek, qui définira la notion de «dogme». J'ai rebaptisé leur théorie en «théorie des ensembles de Volger-Lambek». J'en donnerai une description et j'expliquerai pourquoi elle est, à condition qu'elle soit un peu généralisée, la bonne théorie de formalisation non seulement des ensembles, mais de toute la mathématique telle que nous la pratiquons aujourd'hui.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 24 mai 2019, 14 heures, Salle 1007 - Séance co-organisée avec le groupe de travail “Théorie des types et réalisabilité”
Hugo Moeneclaey (ENS Paris-Saclay) Monoids up to Coherent Homotopy in Two-Level Type Theory

When defining a monoid structure on an arbitrary type in HoTT, one should require a multiplication that is not only homotopy-associative, but also has an infinite tower of higher homotopies. For example in dimension two one should have a condition similar to Mac Lane’s pentagon for monoidal categories. We call such a monoid a monoid up to coherent homotopy. The goal of my internship in Stockholm was to formalize them in Agda. It is well-known that infinite towers of homotopies are hard to handle in plain HoTT, so we postulate a variant of two-level type theory, with a strict equality and an interval type. Then we adapt the set-theoretical treatment of monoids up to coherent homotopy using operads as presented by Clemens Berger and Ieke Moerdijk [1,2].

Our main results are: (a) Monoids up to coherent homotopy are invariant under homotopy equivalence (b) Loop spaces are monoids up to coherent homotopy.

In this talk I will present the classical theory of monoids up to coherent homotopy, and indicates how two-level type theory can be used to formalize it.

References

1. Axiomatic homotopy theory for operads (arxiv.org/abs/math/0206094)

2. The Boardman-Vogt resolution of operads in monoidal model categories (arxiv.org/abs/math/0502155)

Séance co-organisée avec le groupe de travail “Théorie des types et réalisabilité”

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 10 mai 2019, 14 heures, Salle 1007
Pierre-Louis Curien (IRIF) Surfaces et preuves

Travail en commun avec Djordje Baralić, Marina Milićević, Jovana Obradović, Zoran Petrić, Mladen Zekić et Rade Zivaljević

Une situation de Menelaüs est la donnée d'un triangle (non dégénéré) et de points pris sur les trois lignes supportant le triangle qui sont alignés. On peut voir ces trois points comme des témoins des 1-cellules du triangle. Prenons maintenant un ensemble simplicial, satisfaisant certaines conditions garantissant notamment que sa réalisation est une 2-variété. Prenons une interprétation de toutes les 0-cellules et 1-cellules par des points dans le plan (euclidien ou projectif). Alors la présence d'une situation de Menelaüs sur tous les triangles de l'interprétation sauf un induit une situation de Menelaus sur le dernier. C'est cette observation, dûe à Jürgen Richter-Gebert, qui nous a conduit à introduire un syst!me logique (plus précisément un calcul des séquents) “cyclique”, ainsi qu'une opérade cyclique dite de Menalaüs, dont nous avons cru un bon moment qu'elle était libre, jusqu'à trouver un contre-exemple. Nous en donnons une présentation par générateurs et relations.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 5 avril 2019, 14 heures, Salle 1007
Simon Henry (Masaryk University, Brno) Nouvelles constructions de catégories de modèles

Je présenterai rapidement des affaiblissements de la notion de “catégorie de modèles de Quillen” (les semi catégories de modèle à gauche et à droite et les structures de modèles faibles) et je parlerai de plusieurs (nouveaux) théorèmes permettant de construire facilement des catégories de modèles. Notamment, j'espère présenter des solutions (au moins dans le cadres des semi-catégorie de modèles) à deux vieux problèmes en théorie des catégorie de modèles: l'existence des structures de modèles déterminés à gauche (et plus généralement: étendre la théorie des structures de modèles de Cisinski à toutes les catégorie présentable) et, si le temps le permet, la construction d'une “catégorie de modèle des catégories de modèles”.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 15 mars 2019, 14 heures, Salle 1007
Jovana Obradovic (Institute of Mathematics, Czech Academy of Sciences) Combinatorial homotopy theory for cyclic operads

This talk is a sequel of the talk I gave on November 30th 2018, when I introduced an explicit combinatorial characterization of the minimal model of the coloured operad encoding non-symmetric operads. Having identified the family of polytopes whose elements display the homotopies relating different ways of composing the nodes of rooted trees, a question of characterizing homotopy polytopes of more general graphs arises. In this talk, I will answer that question for unrooted trees by introducing a combinatorial resolution of the coloured operad encoding non-symmetric cyclic operads. The algebras over this resolution yield a notion of strongly homotopy cyclic operads for which both the relations for the partial composition operations, and the relation for the action of cyclic permutations that permutes the factors of the composition, are coherently relaxed up to homotopy. The operations of this resolution are faces of polytopes that can be characterized as Cartesian products of n-dimensional operatic polytopes and (n+1)-dimensional hypercubes.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 8 mars 2019, 14 heures, Salle 1007
Pedro Tamaroff (Trinity College Dublin) Minimal models for monomial algebras

In 1985, David Anick introduced a combinatorial construction of chains which can be used to compute various homological invariants of an associative algebra from a good presentation of it by generators and relations. In particular, for algebras with monomial relations, his construction produces those invariants directly.

In this talk, I will explain how to compute a rich algebraic structure on Anick chains leading to the explicit formula for a minimal dg model for any monomial algebra. This is a replacement of an algebra by a differential graded algebra with the same homological properties. This computation relies on the algebraic discrete Morse theory of Jöllenbeck, Welker and Sköldberg and on homotopy transfer formulas; those are formulas perfectly suited for homological computations where the underlying chain complexes are of combinatorial nature. Prior knowledge of these techniques is not required, as they will be explained along the way.

Our work suggests a conjectural answer to obtain possibly non-minimal (yet small) models for algebras with a Groebner basis that I will also discuss.

The talk is based on the paper available at https://maths.tcd.ie/~pedro/MON19.pdf

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 22 février 2019, 14 heures, Salle 1007
Cédric Ho Thanh (IRIF) The equivalence between many-to-one polygraphs and opetopic sets

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 15 février 2019, 14 heures, Salle 1007
Chaitanya Leena-Subramaniam (IRIF) Un lien entre la construction de Boardman-Vogt pour les opérades et l’argument du petit objet pour les systèmes de factorisation orthogonale (II)

Cet exposé est la suite de celui du 11 janvier ; cependant, il sera accessible aux nouveaux auditeurs.

L’exposé commencera avec des rappels sur les monades à arités et leurs “théories de Lawvere généralisées” et expliquera le rôle de l’argument du petit objet (pour les systèmes de factorisation orthogonale) dans leur description. Ces notions se généralisent aux \infty-catégories ((\infty,1)-catégories), et j’essaierai de les décrire dans le cadre des \infty-catégories localement présentables présentées par des catégories de modèles simpliciales.

L’exposé continuera avec l’exemple de la monade (à arités) de Set-opérade (symétrique colorée) libre sur une Set-collection, dont la généralisation exhibe l’\infty-catégorie des \infty-opérades comme une \infty-catégorie d’algèbres pour la même “théorie de Lawvere généralisée”.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 8 février 2019, 14 heures, Salle 1007
Yves Guiraud (IRIF) Résolutions polygraphiques dans les algèbres différentielles graduées

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 1 février 2019, 14 heures, Salle 1007
Rafaël Bocquet (ENS) Morphismes conservatifs dans les catégories des modèles de théories algébriques généralisées

Hofmann a prouvé en 1995 un résultat de conservativité comparant l'axiome d'unicité des preuves d'égalité et les types identité extensionnels en théorie des types. Je vais présenter une généralisation de ce résultat dans le contexte plus général des théories algébriques généralisées. Un système de factorisation (cofibrations, fibrations triviales) est défini sur la catégorie des modèles d'une théorie algébrique généralisée, dont les fibrations triviales sont par exemple les morphismes conservatifs entre modèles de théories des types, les isofibrations surjectives sur les objets dans Cat ou les fibrations triviales de la structure de modèle folk sur omega-Cat. Dans ce cadre, une généralisation du théorème de Hofmann se déduit d'une caractérisation des fibrations triviales comme les quotients par une certaine classe de congruences.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 18 janvier 2019, 14 heures, Salle 1007
Benjamin Dupont (Université de Lyon) Cohérence modulo et doubles groupoïdes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 18 janvier 2019, 10 heures, 3052
Amar Hadzihasanovic (RIMS Kyoto University) Charted omega-categories

A charted omega-category is like a strict omega-category, but instead of a globular set, it has an underlying regular polygraph: its cells have more complex pasting diagrams “charted” on their boundary. Several features of omega-categories generalise nicely, including joins and the monoidal biclosed structure of lax Gray products. I will detail some of the combinatorics involved, going deeper into the theory of globular posets than in my talk last July (which is not a prerequisite).

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 11 janvier 2019, 14 heures, Salle 1007
Chaitanya Leena-Subramaniam (IRIF) Relating the W-construction for operads to the small object argument for factorisation systems

The first part of the talk will be devoted to showing that Moerdijk-Weiss’s category of dendrices \Omega is a Lawvere theory with arities for the free-operad monad on coloured symmetric Set-valued collections. This demonstration is due to J. Kock, following Weber, and generalises the known example of the category \Delta of simplices as a Lawvere theory with arities for the free-category monad on graphs.

If time permits, the second part will try to generalise this setting to simplicial operads and simplicial (i.e. sSet-enriched) model categories by replacing Set with the category sSet of simplicial sets, following Moerdijk-Weiss and Cisinski-Moerdijk.

The underlying theme is a variant of the small object argument that produces orthogonal factorisation systems (i.e. whose left and right maps lift uniquely against each other). This variant has been presented in a previous talk by M. Anel, and its generalisation to simplicial model categories is left Bousfield localisation.


Année 2018

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 14 décembre 2018, 14 heures, Salle 1007
Cameron Calk (ENS Lyon) L'homotopie dirigée et l'inversion temporelle

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 30 novembre 2018, 14 heures, Salle 1007
Jovana Obradovic (Université Charles, Prague) Combinatorial homotopy theory for operads

We introduce an explicit combinatorial characterization of the minimal model for the coloured operad encoding non-symmetric operads, whose structure generalizes the structure of Stasheff's topological $A_{\infty}$-operad.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 19 octobre 2018, 14 heures, Salle 1007
Muriel Livernet (IMJ) Suites spectrales et équivalences faibles

Depuis leur introduction par Leray dans les années 50 les suites spectrales sont devenues essentielles dans beaucoup de domaines mathématiques comme outil de calculs homologiques et homotopiques. Parmi les sources importantes de suites spectrales on trouve les complexes filtrés et les bicomplexes. On introduit pour chacune de ces catégories la notion de E_r-quasi-isomorphisme, liée à la r-ième page des suites spectrales associées aux objets considérés. On montrera dans cet exposé, une fois toutes les notions utiles définies (y compris les structures de catégorie modèles) que les catégories des complexes filtrés et des bicomplexes admettent des structures de catégorie modèle au sens de Quillen, où les équivalences faibles sont les E_r-quasi-isomorphismes.

Ceci est un travail en commun avec: Joana Cirici, Daniela Egas-Santander et Sarah Whitehouse.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 5 octobre 2018, 14 heures, Salle 1007
Eric Finster (IRIF) Vers l'algèbre universelle supérieure dans la théorie des types dépendants

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 28 septembre 2018, 14 heures, Salle 1007
Juan Pablo Vigneaux (IMJ-PRG) Une introduction à la topologie de l'information

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Jeudi 5 juillet 2018, 14 heures, Salle 1002
Amar Hadzihasanovic (RIMS Kyoto University) Regular polygraphs and semi-strictification of higher categories

A regular polygraph is one whose cells have k-dimensional boundaries “shaped as k-dimensional balls”, via a suitable geometric realisation. I will describe a combinatorial approach, where regular polygraphs are defined as presheaves on a shape category, and subsequently proved to form a full subcategory of the category of polygraphs. I will also show how several operations and constructions on polygraphs – such as lax Gray products and joins – admit a sleek definition in this setting.

I will then give a non-algebraic, fully weak definition of higher category, as a regular polygraph satisfying a representability property, and sketch a complementary algebraic, semi-strict definition. Finally, I will sketch how the two are combined in a semi-strictification construction, where semi-strictness should be read in the sense of “Simpson's conjecture for regular compositions”, as in the earlier seminar entry by Simon Henry.

The programme in the second part of the talk has been fully developed in dimension 2 (arXiv:1803.06086). The first part is the subject of a paper that I will publish or circulate before the talk.

Attention : changement de jour et de salle !

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 25 mai 2018, 14 heures, Salle 1007
Martin Szyld (Université de Buenos Aires) The homotopy relation in a category with weak equivalences

I will present the results of the article (arXiv:1804.04244) which deals with the classical construction of the homotopy category of a model category (which is done by performing a quotient of the arrows by the homotopy relation) in the context of categories with weak equivalences. By studying this situation in an abstract context, one can define a relation of homotopy “only with respect to the weak equivalences” which yields the desired localization and coincides with the classical one for model categories. As it is usually the case, the proofs of these results, which consider only a family of arrows instead of three, become simpler. In particular, they allowed a generalization to bicategories in a current work with E. Descotte and E. Dubuc, which I will present too if time permits.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 4 mai 2018, 14 heures, Salle 1007
Simon Henry (Université Masaryk, Brno) Polygraphes réguliers et une preuve de la conjecture de Simpson pour les compositions régulières

La conjecture de Simpson affirme (informellement) que tout infini groupoïde (ou même infini catégorie) faible est équivalent à un dont les compositions, lois d'associativités, et lois d'échanges sont strictes, et seules les lois 'd'unités' (et donc aussi d'inverses) sont faibles. La conjecture est relativement vague et laisse de la place à l'interprétation, aussi bien sur la liste précise des opérations que l'ont veut rendre strictes, que sur la façon dont les “unités faibles” sont définies.

Dans l'exposé j'esquisserai la première preuve d'une forme de cette conjecture : celle-ci s'applique aux infinis groupoïdes, et strictifie les compositions dites 'régulières' (celles dont le diagramme est topologiquement une boule). Ce type d'opérations est suffisant pour engendrer toutes les opérations et cohérences attendues dans un infini groupoïde faible, dès qu'on lui ajoute des unités faibles et des inverses faibles. C'est donc une réponse satisfaisante à la conjecture d'origine, mais il existe encore des formes plus fortes de la conjecture non démontrées pour l'instant.

La démonstration repose en très grande partie sur des résultats nouveaux en théorie des polygraphes et sur d’excellentes propriétés d'une certaine classe des polygraphes dit “réguliers”. La plus grande partie de l'exposé sera concentrée sur ces aspects 'polygraphiques'.

Note: Il s'agit de la suite de mon exposé de Septembre “Les polygraphes non-unitaires et la conjecture de Simpson”, mais je ferai tous les rappels nécessaires.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 6 avril 2018, 14 heures, Salle 1007
Antonin Delpeuch (Oxford) Décider l'égalité de diagrammes de cordes

On propose une stratégie de réécriture pour obtenir des formes normales de diagrammes de cordes dans une catégorie monoïdale libre. On obtient une borne polynomiale sur la longueur maximale des réductions et on décrit un algorithme pour calculer les formes normales obtenues plus efficacement. Cela permet de décider l'égalité de diagrammes en temps quadratique. Une application possible serait d'implémenter l'algorithme dans Globular pour automatiser des étapes répétitives dans des preuves.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 16 mars 2018, 14 heures, Salle 1007
Léonard Guetta (IRIF) Non-universalité des colimites dans la catégorie des infini-catégories strictes

La catégorie des infini-catégories strictes n'est pas un topos. Cela se manifeste notamment par le fait que les colimites ne sont pas universelles, c'est-à-dire ne sont pas préservées par tiré-en-arrière (i.e. “pullback”) le long de n'importe quelle flèche. De manière équivalente, cela signifie qu'il existe des flèches le long desquelles le foncteur tiré-en-arrière n'admet pas d'adjoint à droite. Lorsqu'on se restreint à la catégorie des 1-catégories, une caractérisation “facile” de ce type de flèches a été mise en évidence par J. Giraud en 1964 et indépendamment par F. Conduché en 1972.

Dans cet exposé, je présenterai le travail de Giraud sur la question et j'expliquerai comment l'étendre au cas des infini-catégories strictes. J'expliquerai ensuite pourquoi cette question de non-universalité des colimites est intimement liée à une question de stabilité des résolutions polygraphiques par tiré-en-arrière et cela me permettra d'achever la démonstration d'un résultat laissé en suspens lors de mon exposé du 16/02/2018.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 16 février 2018, 14 heures, Salle 1007
Léonard Guetta (IRIF) Homologie des 1-catégories

Dans leur article de 2009, “Polygraphic resolutions and homology of monoids”, Y. Lafont et F. Métayer démontrent que l'homologie “polygraphique” des monoïdes coïncide avec l'homologie “habituelle” des monoïdes, c'est-à-dire celle définie avec le foncteur Tor. Je présenterai dans cet exposé une extention du résultat précédent à toutes les 1-catégories. Pour cela, j'établirai un cadre abstrait dans lequel je réinterpréterai les étapes-clés de la démonstration de Lafont-Métayer.

Assez curieusement, cela m'a également amené à étendre certains résultats de Conduché et Giraud sur l'exponentiabilité des 1-foncteurs dont je parlerai également (éventuellement en détails dans un exposé futur).

Mot-clés : Polygraphes, Homologie des 1-catégories, Ext-Tor, Fibrations de Conduché, “push-forward” pour les (n-)catégories.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 2 février 2018, 14 heures, Salle 1007
Antoine Chambert-Loir (IMJ) Algèbre homologique moderne — comment échapper à « Ignoramus et ignorabimus » ?

Depuis le début du 20e siècle, l'algèbre homologique s'est développée par mues successives, des nombres de Betti aux (∞,1)-catégories en passant notamment par les catégories dérivées. Des développements récents, j'essayerai de discuter le contraste entre complexité (celle que je ressens à la lecture des ouvrages de Lurie, par exemple) et efficacité (je donnerai des exemples tirés de la géométrie algébrique), avec l'œil d'un géomètre qui aimerait bien disposer de ces outils sans pour autant savoir se dépêtrer de la littérature (in-?)existante.


Année 2017

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 10 novembre 2017, 14 heures, Salle 1007
Mathieu Anel Un argument du petit objet pour les systèmes de factorisation unique

L’argument du petit objet est une recette pour construire des factorisations de morphisme f:X \to Y en f=R(f)L(f) où L(f) et R(f) sont dans des classes L et R qui ont des propriétés de relèvement non-unique (orthogonalité faible) entre elles. Lorsque la propriété de relèvement de L et R est unique (orthogonalité forte) l’argument doit être modifié pour produire la bonne factorisation. Le but de l’exposé sera de proposer deux méthodes pour corriger la construction (inspirées de Gabriel-Ulmer et de Kelly).

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 27 octobre 2017, 14 heures, Salle 1007
Eric Finster The Generalized Blakers-Massey Theorem

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 22 septembre 2017, 14 heures, Salle 1007
Simon Henry Les polygraphes non-unitaires et la conjecture de Simpson

Je partirai de deux “théorèmes” faux : Le premier est dû à Kapranov et Voevodsky et dit essentiellement que l'on peut représenter les types d'homotopie par des infini-catégories strictes dont toutes les flèches sont faiblement inversibles. Le deuxième est la preuve par Johnstone et Carboni (et Batanin) que la catégorie des polygraphes est une catégorie de préfaisceaux.

Les deux énoncés sont faux pour des raisons très similaires : à chaque fois l'argument clé est l'argument de Eckmann-Hilton, c'est-à-dire le fait que la composition des endomorphismes de n'importe quelle identité dans une infini-catégorie est strictement commutative. Cette commutativité est incompatible avec les deux affirmations précedentes.

Pour cette raison, il est conjecturé que si l'on travaille dans une situation où il n'y pas d'unité, ou bien où les unités sont faibles ou n'interviennent pas alors ces énoncés deviennent vrais. Dans le premier cas il s'agit de la conjecture de semi-strictification de Simpson qui affirme que les types d'homotopie peuvent être représentés par des infini-catégories strictes “sans identités” qui admettent des identités faibles et des inverses faibles. Dans le deuxième cas il s'agit d'une “conjecture” de Johnstone et Carboni qui dit que la catégorie des polygraphes tels que la source et le but de chaque générateur n'est pas une identité est une catégorie de préfaisceaux.

Dans l'exposé je présenterai une preuve de cette dernière “conjecture” et j'expliquerai en quoi cela pourrait permettre d'arriver à une preuve de la conjecture de Simpson.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 30 juin 2017, 14 heures, Salle 1007
Andrew Polonsky Lambda Calculus is a Groupoid

We discuss the problem of equality in type theory. We present an approach to defining higher equality structures in type theory. As an application, we study the lambda calculus from the multi-dimensional point of view. Taking equality between lambda terms (1-cells) to be beta conversion modulo permutation of redexes, we discover that the induced higher structure is a homotopy 1-type. That is, whenever there exists a higher cell between two β-conversions, the space of such cells is contractible. The key property of the lambda calculus responsible for this is Lévy’s projection calculus (AKA calculus of residuals). We conclude that the result holds for any theory which admits a presentation with such a calculus. For example, all (weakly) orthogonal TRSs describe homotopy 1-types.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 23 juin 2017, 14 heures, Salle 1007
Cyrille Chenavier Borne supérieure des opérateurs de réduction et calcul des syzygies

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 16 juin 2017, 14 heures, Salle 1007
Eric Finster A Type Theoretic Definition of Weak Omega-Categories

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 2 juin 2017, 14 heures, Salle 1007
Léonard Guetta Quelques remarques sur les modèles acycliques, d'après M.Barr

En 1953, S. Eilenberg et S. Maclane publient l'article “Acyclic Models” dans lequel ils exposent le théorème (ou méthode) dit des modèles acycliques. Cet outil permet de comparer efficacement différentes théories homologiques tout en étant très économe en calculs. Depuis, différents théorèmes dit de «modèles acycliques» ont été démontrés, comme par exemple celui de M.Barr et J. Beck en 1966. Pourtant même si ce dernier a des conclusions similaires au théorème d'Eilenberg et Maclane, le cadre semble assez différent. Dans mon exposé, je présenterai un théorème d'algèbre homologique très général duquel il est très facile de déduire ces différents théorèmes de modèles acycliques ainsi que les théorèmes habituels de relèvement d'algèbre homologique.

Je présenterai aussi mes travaux en cours qui visent à démontrer un théorème de relèvement plus fin et plus général que les précédents et dont un cas particulier a également été démontré par M. Barr dans les années 90. Enfin, si le temps me le permet, j'exposerai un théorème des modèles acycliques d'A. Prouté (non-publié) qui rentre naturellement dans ce nouveau cadre.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 28 avril 2017, 14 heures, Salle 1007
Martin Szyld A general limit lifting theorem for 2-dimensional monad theory

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 21 avril 2017, 14 heures, Salle 1007
Eric Hoffbeck Théorie d'obstruction pour les algèbres sur une opérade

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 10 mars 2017, 14 heures, Salle 1007
Simon Henry Sur des nouveaux modèles algébriques des types d'homotopie

Dans son manuscrit “À la poursuite des champs” Grothendieck propose une définition “d'infini-groupoïde” ainsi qu'une notion d'équivalence entre eux et conjecture que la catégorie homotopique est équivalente à sa catégorie des infini-groupoïdes “à équivalence près”.

Cette conjecture (l'hypothèse d'homotopie) est toujours un problème ouvert, et il y a de très nombreuses questions basiques concernant cette notion d'infini-groupoïdes qui restent sans réponse. Pour cette raison, on préfère généralement utiliser les ensembles simpliciaux et les complexes de Kan pour définir la notion d'infini-groupoïde et servir de point de départ pour la théorie des catégories supérieures.

Cela dit l'apparition de la théorie homotopique des types nous donne de nouvelles motivations pour s'intéresser à cette notion d'infini-groupoïdes : tout d'abord n'importe quel type en théorie homotopique des types porte une structure d'infini-groupoïde au sens Grothendieck, ensuite, si la théorie des types est censée être la logique interne de certaines infini-catégories, il s'agit à priori d'infini-catégories globulaires, i.e. d'un genre plus proche de la définition de Grothendieck que des versions simpliciales. Enfin, on sait internaliser en théorie des types la définition d'infini-groupoïdes de Grothendieck, alors qu'on est très loin de savoir faire de même pour les approches simpliciales.

Dans cet exposé je vais présenter une nouvelle famille de définitions de la notion d'infini-groupoïde qui sont inspirées de celle de Grothendieck, et qui conservent certaines de ses bonnes propriétés, mais qui échappent aux problèmes de celle-ci et pour laquelle on sait en particulier prouver l'analogue de l'hypothèse d'homotopie.

On énoncera aussi une conjecture technique précise, d'apparence simple, qui impliquerait que la définition de Grothendieck est un cas particulier de la nôtre, et qui donc impliquerait aussi l'hypothèse d'homotopie et résoudrait une partie des problèmes ouverts concernant la définition de Grothendieck.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 3 mars 2017, 14 heures, Salle 1007
Maxime Lucas Structure simpliciale sur les n-branchements et acyclicité de polygraphes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 24 février 2017, 14 heures, Salle 1007
Cyrille Chenavier Caractérisation et construction de bases de Gröbner par les opérateurs de réduction

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 3 février 2017, 14 heures, Salle 1007
Mathieu Anel Pourquoi les infini-catégories sont-elles utiles ?

En me limitant aux (infini,1)-catégories, j’illustrerai pourquoi on a besoin des catégories supérieures. La réponse que je développerai est que certains axiomes formulables en théorie des catégories n’ont aucun modèles non-triviaux dans les catégories ordinaires mais pas dans les catégories supérieures. L’une de ces propriétés est « l’effectivité des colimites » (forme améliorée de la propriété d’univalence) qui est à la base des infini-topos. Un autre exemple est la propriété de « stabilité » qui simplifie drastiquement la compréhension et la manipulation de l’algèbre homologique.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 27 janvier 2017, 14 heures, Salle 1007
Rémy Tuyeras Elimination des quotients dans les modèles d'esquisses limites

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 20 janvier 2017, 14 heures, Salle 1007
Alexandre Quesney Opérades Swiss Cheese et décompositions cellulaires


Année 2016

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 16 décembre 2016, 14 heures, Salle 1007
Jacques Penon Une pseudo-adjonction cachée derrière un théorème de M.Weber (II)

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 2 décembre 2016, 17 heures 30, Salle 3052 * Journées du GDR Topologie Algébrique : changement d'horaire et de salle *
Jacques Penon Une pseudo-adjonction cachée derrière un théorème de M.Weber
Journées du GDR Topologie Algébrique

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 4 novembre 2016, 14 heures, Salle 1007
François Métayer Algèbres de la monade des états

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 28 octobre 2016, 14 heures, Salle 1007
Maxime Lucas (IRIF) Inversibilité dans les omega-catégories cubiques

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 14 octobre 2016, 14 heures, Salle 1007
Simon Forest Une généralisation des complexes de parité de Street et des pasting schemes de Johnson

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 8 juillet 2016, 14 heures, Salle 1007
Pierre Cagne Bifibrations sur des catégories de modèles et construction de Reedy

Dans cet exposé, je présenterai un théorème permettant de relever une structure de catégorie de modèles le long d'une bifibration dont les fibres ont elles-mêmes un bon comportement homotopique. Ce résultat généralise deux théorèmes de la littérature (le premier par Roig et Stanculescu, le deuxième par Harpaz et Prasma) et a été motivé par l'étude de la construction de Reedy.

Celle-ci est un outil primordial en algèbre homotopique, qui permet de munir d'une structure de catégorie de modèles une catégorie de diagrammes à valeurs dans une catégorie de modèles quand la catégorie index admet de bonnes propriétés. Cette construction passe par l'utilisation de deux foncteurs, le latch et le match, dont l'introduction pourrait paraître a priori ad hoc. Après les rappels nécessaires, je montrerai qu'il n'en est rien et qu'ils sous-tendent en fait une bifibration dont l'étude, via notre théorème, éclaire l'étape clé dans la construction de Reedy.

Si le temps le permet, j'esquisserai rapidement quelques généralisations existantes de la construction de Reedy dans lesquelles la vue bifibrationnelle s'intègre également.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 1 juillet 2016, 14 heures, Salle 1007
Albert Burroni Faisceautisation des structures par approximations successives

Classiquement, la construction universelle qui transforme un préfaisceau, de base une catégorie C, en faisceau sur un site (C,T), où T est une topologie de Grothendieck, s'appelle la “faisceautisation”.

En remplaçant le site précédent par une esquisse projective (C,T) où T est un ensemble de cônes projectifs, la notion de structure algébrique, relative à cette esquisse, généralise celle de faisceau. Dans ce cas plus général, une construction similaire, encore appelée faisceautisation, prolonge la construction précédente.

Ces constructions sont basées sur une transformation sur les préfaisceaux qui est itérée de manière transfinie (dont la longueur dépend de la taille des cônes projectifs) et s'inspirent de la technique des “approximations successives” en analyse. Dans le cas des faisceaux la construction s'arrête dès la deuxième étape, nous tenterons d'expliquer pourquoi. On verra aussi comment cette construction s'étend de manière relative aux esquisses mixtes (lesquelles comportent, en plus des cône projectifs de T, des cônes inductifs).

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 17 juin 2016, 14 heures, Salle 1007
Eric Hoffbeck Shuffles d'arbres

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 20 mai 2016, 14 heures, Salle 1007
François Métayer Monadicité des omega-catégories sur les polygraphes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 13 mai 2016, 14 heures, Salle 1007
Clément Alleaume Décroissance et présentations cohérentes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 15 avril 2016, 14 heures, Salle 1007
Maxime Lucas Une version cubique du théorème de Squier

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 25 mars 2016, 14 heures, Salle 1007
Samuel Mimram Parités complexes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 18 mars 2016, 14 heures, Salle 1007
Jacques Penon Algèbre sur une opérade, un éclaircissement

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 11 mars 2016, 14 heures, Salle 1007
Brice Halimi Présentation de la théorie des esquisses

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 19 février 2016, 14 heures, Salle 1007
Joey Beauvais-Feisthauer Bicatégories et cohérence

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 12 février 2016, 14 heures, Salle 1007
Albert Burroni Une revisitation (et plus) de la définition des catégories globulaires monoïdales de Batanin

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 22 janvier 2016, 14 heures, Salle 1007
François Métayer Polygraphes généralisés


Année 2015

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 18 décembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Cyrille Chenavier Opérateurs de réduction II : réécriture et complétion

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 11 décembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Sinan Yalin Espaces de modules de bigèbres, cohomologie de Hochschild supérieure et formalité

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 4 décembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Cyrille Chenavier Opérateurs de réduction I : structure de treillis et confluence

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 20 novembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Jonas Frey Topos de réalisabilité comme catégories d'homotopie

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 6 novembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Pierre-Louis Curien et Jovana Obradovic Polytopes engendrés par des hypergraphes, d'après Dosen et Petric

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 23 octobre 2015, 14 heures, Salle 1007
Maxime Lucas Polygraphes pour catégories cubiques

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 16 octobre 2015, 14 heures, Salle 1007
Maxime Lucas Ensembles cubiques symétriques et (omega,n)-catégories cubiques

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 2 octobre 2015, 14 heures, Salle 1007
François Métayer Nerf de Street et complexe normalisé

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 25 septembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Yves Guiraud Le théorème de Squier pour les algèbres II

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
Vendredi 18 septembre 2015, 14 heures, Salle 1007
Yves Guiraud Le théorème de Squier pour les algèbres I