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Matinée du 20 novembre 2020

  • 9h30-10h15 Reza Mohammadpour Lyapunov spectrum properties Slides

In this talk we discuss ergodic optimization and multifractal behavior of Lyapunov exponents for matrix cocycles. We show that the restricted variational principle holds for generic cocycles over mixing subshifts of finite type, and that the Lyapunov spectrum is equal to the closure of the set where the entropy spectrum is positive for such cocycles. Moreover, we show both the continuity of the entropy spectrum at the boundary of Lyapunov spectrum for such cocycles, and the continuity of the lower joint spectral radius for linear cocycles under the assumption that linear cocycles satisfy a cone condition. We consider a subadditive potential $\Phi$. We obtain that for $t\rightarrow \infty$ any accumulation point of a family of equilibrium states of $t\Phi$ is a maximizing measure, and that the Lyapunov exponent and entropy of equilibrium states for $t\Phi$ converge in the limit $t\rightarrow \infty$ to the maximum Lyapunov exponent and entropy of maximizing measures.

  • 10h30-11h15 Mélodie Lapointe Discrete interval exchange transformations and perfectly clustering words   Slides

Perfectly clustering words are a generalization of Christoffel words introduced by Simpson and Puglisi in 2009. A word on an ordered alphabet is perfectly clustering if its Burrows-Wheeler transform is a decreasing word. Therefore, they can be viewed has a generalization of Christoffel words. Christoffel words can be constructed using Raney tree and monoid automorphisms. In this talk, we propose generalization of the Raney tree and group automorphism to construct perfeclty clustering words. Moreover, our automorphisms are not morphism of the free monoid, but the result is a generalization of the Christoffel tree. To achieve the main result we also used the bijection between clustering words and discrete interval exchange shown by Ferenczi and Zamboni.

  • 11h30-12h15 Charles Fougeron Dynamiques des systèmes simpliciaux et des algorithmes de fraction continue multidimensionnels Slides Expérimentations

Motivés par la richesse de l'algorithme de Gauss qui permet de calculer efficacement les meilleurs approximation d'un nombre réel par des rationnels, beaucoup de mathématiciens ont proposé des généralisations de ces algorithmes pour approximer des vecteurs de dimension supérieure à 1. Citons pour exemple celui de Poincaré introduit à la fin du 19e siècle ou ceux de Brun et Selmer à la moitié du 20e siècle.

Depuis le début des années 90 à aujourd'hui il y a eu un certain nombre de travaux étudiant la convergence de ces algorithmes. Schweiger et Broise ont notamment démontré que les algorithmes de Selmer et Brun sont convergent et ergodiques. Plus surprenant peut-être, Nogueira a démontré que l'algorithme proposé par Poincaré ne convergeait presque jamais.

En partant du cas classique de l'algorithme de Farey, qui est une version "additive" de l'algorithme de Gauss, je présenterai un point de vu combinatoire sur ces algorithmes qui permet le passage d'une vision déterministe à une approche probabiliste. En effet, dans ce modèle, prendre un vecteur aléatoire pour la mesure de Lebesgue correspondra à suivre une marche aléatoire avec mémoire dans un graphe étiqueté nommé système simplicial. Les lois pour cette marche aléatoire sont élémentaires et nous pouvons développer des techniques probabilistes pour étudier leur comportement dynamique générique. Cela nous mènera à décrire un critère purement de théorie des graphes pour démontrer la convergence ou non d'un algorithme de fraction continue.