Depuis la célèbre hypothèse d'homotopie formulée par Grothendieck, un thème central de la théorie de l'homotopie et de l'algèbre supérieure consiste à décrire les théories homotopiques d'objets géométriques et topologiques à l'aide de modèles algébriques. Parmi les correspondances fondamentales entre géométrie/topologie d'un côté et algèbre de l'autre, on peut citer :

  Types d'homotopie ↔ oo-groupoïdes
  Spectres ↔ oo-groupoïdes symétriques monoïdaux
  Catégories topologiques ↔ (oo,1)-catégories
  n-cobordismes ↔ Objets dans une (oo,n)-catégorie monoïdale avec duaux libres sur un objet
  n-champs localement constants sur un espace X ↔ Représentations du (pro)-n-groupoïde fondamental de X

Mais qu'entend-on exactement par “modèle algébrique” ? Suivant le point de vue adopté pour répondre à cette question, le statut des correspondances énoncées oscille entre conjectures et théorèmes.

Dans cet exposé, je proposerai un cadre général – la théorie des canevas – qui permet de formaliser précisément cette notion de “modèle algébrique” et de revisiter certaines de ces correspondances sous un angle unifié. Ce cadre nous offrira l'occasion d'aborder des thématiques variées, telles que la théorie des catégories tests, la transition des opérades simpliciales vers les oo-opérades, ou encore les divers résultats de rigidification des structures supérieures.

Si le temps le permet, je présenterai également un vaste programme de conjectures et de questions naturelles émanant de ce cadre, ainsi que certains de mes travaux qui s'inscrivent dans cette perspective.

La cohomologie d'un espace est classiquement définie à partir de son complexe de cochaînes singulier. Ce-dernier n'étant pas lui-même un invariant homotopique, on ne peut pas espérer une définition similaire de la cohomologie en HoTT. À la place, on passe par la représentabilité de la cohomologie par les espaces d'Eilenberg-Maclane K(G,n). Le but de cet exposé est de montrer comment traduire mot à mot le langage des torseurs et des gerbes de la théorie des faisceaux vers la théorie des types pour aboutir à la construction de types K(G,1) et K(G,2).

A framed polytope is the convex closure of a finite set of points in Euclidean space together with an ordered linear basis. An n-category is a category that is enriched in the category of (n-1)-categories. Although these concepts may initially appear to be distant peaks in the mathematical landscape, there exists a trail connecting them, blazed in the 90's by Kapranov and Voevodsky. We will traverse this path, widening and improving it as we address some of their conjectures along the way. If time permits, using a special embedding of the combinatorial simplex, we will connect this trail to the one ascending Mount Steenrod. This connection will enable us to express the combinatorics of cup-i products in convex geometric terms, dual to those introduced earlier in the talk to define the nerve of higher categories.

Dans cet exposé, je vais présenter des travaux concernant le calcul de témoins de naturalité des opérations dans les omega-catégories faibles. Intuitivement, les témoins de naturalité traduisent du fait que chacune des opération d'une omega-catégorie faible se doit d'être un omega-foncteur faible. Bien que l'on manque d'outils pour exprimer formellement cette intuition, on peut explorer ce que cela signifie en petite dimension, ce qui amène à une notion que l'on a appelée la fonctorialité des opération, puis dans un second temps à la notion de naturalité. Je vais esquisser une construction permettant d'obtenir un témoin de naturalité associé à chacune des opérations d'une omega-catégorie, en m'appuyant sur la combinatoire des carrés et de leur composition. J'illustrerai ensuite cette construction en introduisant les cellules d'Eckmann-Hilton, et en montrant que la construction des témoins de naturalité permet de déduire des cellules d'Eckmann-Hilton en dimension supérieures à partir de celles en petites dimension.

La notion de catégorie différentielle cartésienne permet de formaliser dans un contexte catégorique la notion de dérivée directionnelle. Similairement, la notion de catégorie tangente fournit un analogue à la notion de fibré tangent de la géométrie différentielle dans le contexte de la théorie des catégories.

  Dans cet exposé, nous décrirons une nouvelle notion de monade différentielle cartésienne. Cette structure consiste en une monade équipée d'une transformation naturelle appelée "combinateur différentiel". Pour une telle monade, nous montrerons que la catégorie (opposée) de Kleisli associée est munie d'une structure différentielle cartésienne, et que la catégorie d'algèbres associée est munie d'une structure tangente.

  Finalement, nous considérerons l'exemple des algèbres sur une opérade. Nous montrerons que la monade associée à toute opérade (algébrique, symétrique) admet un combinateur différentiel. Nous étudierons la catégorie différentielle cartésienne et la catégorie tangente associée. Nous montrerons que cette catégorie tangente admet une structure tangente adjointe qui permet de retrouver certaines notions provenant de la géométrie algébrique et non-commutative.

In my talk, I will discuss the category $pOpe_\iota$ of positive opetopes with \iota-contractions, introduced by Zawadowski. I will then define the category $\widehat{pOpe_\iota}_{EZ}$ of Eilenberg-Zilber opetopic sets, which are presheaves on $pOpe_\iota$ analogous to simplicial sets. I will outline a modification of Cisinski theory applicable to $\widehat{pOpe_\iota}_{EZ}$, demonstrating the existence of a model structure. Additionally, I will sketch the proof of its Quillen equivalence to the Kan-Quillen model structure. If time allows, I will touch upon another model structure and its potential comparison with the Joyal model structure on simplicial sets.

Model categories provide a good environment to do homotopy theory. A model category consists of a bicomplete category together with three classes of morphisms (weak equivalences, cofibrations, and fibrations) satisfying a list of axioms. While weak equivalences are the main players in a model category and encode how two objects should be thought of as being ``the same, the additional data of cofibrations and fibrations typically facilitates computations of homotopy limits and colimits, and of derived functors. However, because of their robust structure, model categories are usually hard to construct. In joint work with Guetta, Sarazola, and Verdugo, we develop new techniques for constructing model structures from given classes of cofibrations, fibrant objects, and weak equivalences between them. The requirement that one only needs to provide a class of weak equivalences between fibrant objects both simplifies the conditions to check and seems more natural in practice: often, the fibrant objects are the ``well-behaved objects in a model category and so the weak equivalences should only be expected to exhibit a good behavior between these objects. As a straightforward consequence of our result, we obtain a more general version of the usual right-induction theorem along an adjunction, where fibrations and weak equivalences are now only right-induced between fibrant objects; we refer to such an induced model structure as fibrantly-induced.

As applications of these new methods, we construct several model structures on the category of double categories.

La construction de Grothendieck est une construction fondamentale de la théorie des catégories. Dans cet exposé, j'en donnerai une généralisation dans le cadre des $\omega$-catégories faibles. À cette fin, je présenterai quelques concepts importants de la théorie des $\omega$-catégories faibles, tels que les transformations lax, les (co)limites lax, et les fibrations cartésiennes. Enfin, j'expliquerai comment ce résultat peut être utilisé pour donner des calculs explicites d'extensions de Kan lax.

n this talk, we shall introduce a calculus for a presentation of compact, orientable, connected 3-manifolds with boundary in terms of diagrams embedded in S^3 in a form akin to the standard surgery presentation of closed, orientable, connected 3-manifolds. The motivation to introduce such a presentation of manifolds is to give a completely combinatorial description of the category 3Cob, whose arrows are 3-dimensional cobordisms, which is an ongoing project. We hope this could support further investigations of faithfulness of 3-dimensional Topological Quantum Field Theories.

This is a joint work with Bojana Femić, Vladimir Grujić and Zoran Petrić.

It is well-known that the arrows of the free cartesian category C(S) over a signature S are (tuples of) terms built over S, and that cartesian functors from C(S) into Set corresponds algebras over S. A term-like structure is also available for the arrows of some free categories over S laying between the free monoidal and the free cartesian categories, and suitable functors into Rel and Par can also be interpreted as multi- and partial algebras, respectively. Finally, all these categories can be obtained as the Kleisli category of suitable monads, hence offering a tool for the “computations and monads” paradigm.

In higher category theory, model categories constitute a powerful manner to encode infinity categories. Unfortunately, it is not always possible to encode an infinity category using a model category, and when this is possible the choice of model category is far from being unique or canonical. Favoring such presentations whenever possible, it is hence natural to investigate which operations on the level of infinity categories can be performed on the model categorical level. In this talk I will describe one such result for the operation of lax limits, showing that, under suitable conditions, if a diagram of inifinity categories is modeled by a diagram of (simplicial combinatorial) model categories, then the lax limit can be performed on the level of model categories. We also obtain results concerning homotopy limits and various intermediate limits. This generalizes previous results of Lurie and of Bergner. Related results were also obtained independently by Balzin.

Je propose la notion d'un système de types hiérarchiques, de sorte que la définition soit elle même exprimée de manière interne au système qu'elle définit. L'idée est qu'un tel système fournit un cadre au sein duquel on peut raisonner, tout en possédant sa propre logique. On pourra établir des constructions formelles en se plaçant dans un système quelconque et en déduire des résultats généraux. On définira notamment la notion de oméga type dans un système. On verra que le cas non trivial minimal émane naturellement de la logique booléenne habituelle et fournit la hiérarchie des n-catégories. On remarquera la nature intrinsèquement homotopique du cadre ainsi obtenu, si bien que les oméga types de ce système peuvent naturellement s'interpréter comme des espaces. J'aimerai aussi revenir sur quelques axiomes de la théorie homotopique des types et de la théorie des ensembles.

In the setting of homotopy type theory, each type can be interpreted as a space. Moreover, given an element of a type, i.e. a point in the corresponding space, one can define another type which encodes the space of loops based at this point. In particular, when the type we started with is a groupoid, this loop space is always a group. Conversely, to every group we can associate a type (more precisely, a pointed connected groupoid) whose loop space is this group: this operation is called delooping. The generic procedures for constructing such deloopings of groups (based on torsors, or on descriptions of Eilenberg-MacLane spaces as higher inductive types) are unfortunately equipped with elimination principles which do not directly allow eliminating to arbitrary types, and are thus difficult to work with in practice. Here, we construct deloopings of the cyclic groups Z_m which are cellular, and thus do not suffer from this shortcoming. In order to do so, we provide type-theoretic implementations of lens spaces, which constitute an important family of spaces in algebraic topology. In some sense, this work generalizes the construction of the real projective space by Buchholz and Rijke in their LICS'17 paper, which handles the case m=2, although the general setting requires more involved tools. Finally, we use this construction to also provide cellular descriptions of dihedral groups, and explain how we can hope to use those to compute the cohomology and higher actions of such groups.

L'idée est de présenter quelques formalisations des opétopes (entre 3 et 4…) avec lesquelles j'ai pu travailler durant mon stage. Et notamment d'introduire des définitions originales de Pierre-Louis Curien et moi. Je ne pense pas parcourir la preuve de l'équivalence, éventuellement donner des idées vagues de ce qu'il faut faire pour les relier.

Si le temps le permet, je pourrait aussi introduire une définition pour les opétopes (non nécessairement positifs cette fois) à laquelle j'ai réfléchi dernièrement, et dont j'ai démontré l'équivalence avec les “Zoom complexes” du papier “Polynomial functors and opetopes” par Kock, Joyal, Batanin et Mascari.