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Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 10 novembre 2017, 14h00, Salle 1007
Mathieu Anel () Un argument du petit objet pour les systèmes de factorisation unique

L’argument du petit objet est une recette pour construire des factorisations de morphisme f:X \to Y en f=R(f)L(f) où L(f) et R(f) sont dans des classes L et R qui ont des propriétés de relèvement non-unique (orthogonalité faible) entre elles. Lorsque la propriété de relèvement de L et R est unique (orthogonalité forte) l’argument doit être modifié pour produire la bonne factorisation. Le but de l’exposé sera de proposer deux méthodes pour corriger la construction (inspirées de Gabriel-Ulmer et de Kelly).

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 27 octobre 2017, 14h00, Salle 1007
Eric Finster () The Generalized Blakers-Massey Theorem

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 22 septembre 2017, 14h00, Salle 1007
Simon Henry () Les polygraphes non-unitaires et la conjecture de Simpson

Je partirai de deux “théorèmes” faux : Le premier est dû à Kapranov et Voevodsky et dit essentiellement que l'on peut représenter les types d'homotopie par des infini-catégories strictes dont toutes les flèches sont faiblement inversibles. Le deuxième est la preuve par Johnstone et Carboni (et Batanin) que la catégorie des polygraphes est une catégorie de préfaisceaux.

Les deux énoncés sont faux pour des raisons très similaires : à chaque fois l'argument clé est l'argument de Eckmann-Hilton, c'est-à-dire le fait que la composition des endomorphismes de n'importe quelle identité dans une infini-catégorie est strictement commutative. Cette commutativité est incompatible avec les deux affirmations précedentes.

Pour cette raison, il est conjecturé que si l'on travaille dans une situation où il n'y pas d'unité, ou bien où les unités sont faibles ou n'interviennent pas alors ces énoncés deviennent vrais. Dans le premier cas il s'agit de la conjecture de semi-strictification de Simpson qui affirme que les types d'homotopie peuvent être représentés par des infini-catégories strictes “sans identités” qui admettent des identités faibles et des inverses faibles. Dans le deuxième cas il s'agit d'une “conjecture” de Johnstone et Carboni qui dit que la catégorie des polygraphes tels que la source et le but de chaque générateur n'est pas une identité est une catégorie de préfaisceaux.

Dans l'exposé je présenterai une preuve de cette dernière “conjecture” et j'expliquerai en quoi cela pourrait permettre d'arriver à une preuve de la conjecture de Simpson.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 30 juin 2017, 14h00, Salle 1007
Andrew Polonsky () Lambda Calculus is a Groupoid

We discuss the problem of equality in type theory. We present an approach to defining higher equality structures in type theory. As an application, we study the lambda calculus from the multi-dimensional point of view. Taking equality between lambda terms (1-cells) to be beta conversion modulo permutation of redexes, we discover that the induced higher structure is a homotopy 1-type. That is, whenever there exists a higher cell between two β-conversions, the space of such cells is contractible. The key property of the lambda calculus responsible for this is Lévy’s projection calculus (AKA calculus of residuals). We conclude that the result holds for any theory which admits a presentation with such a calculus. For example, all (weakly) orthogonal TRSs describe homotopy 1-types.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 23 juin 2017, 14h00, Salle 1007
Cyrille Chenavier () Borne supérieure des opérateurs de réduction et calcul des syzygies

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 16 juin 2017, 14h00, Salle 1007
Eric Finster () A Type Theoretic Definition of Weak Omega-Categories

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 02 juin 2017, 14h00, Salle 1007
Léonard Guetta () Quelques remarques sur les modèles acycliques, d'après M.Barr

En 1953, S. Eilenberg et S. Maclane publient l'article “Acyclic Models” dans lequel ils exposent le théorème (ou méthode) dit des modèles acycliques. Cet outil permet de comparer efficacement différentes théories homologiques tout en étant très économe en calculs. Depuis, différents théorèmes dit de «modèles acycliques» ont été démontrés, comme par exemple celui de M.Barr et J. Beck en 1966. Pourtant même si ce dernier a des conclusions similaires au théorème d'Eilenberg et Maclane, le cadre semble assez différent. Dans mon exposé, je présenterai un théorème d'algèbre homologique très général duquel il est très facile de déduire ces différents théorèmes de modèles acycliques ainsi que les théorèmes habituels de relèvement d'algèbre homologique.

Je présenterai aussi mes travaux en cours qui visent à démontrer un théorème de relèvement plus fin et plus général que les précédents et dont un cas particulier a également été démontré par M. Barr dans les années 90. Enfin, si le temps me le permet, j'exposerai un théorème des modèles acycliques d'A. Prouté (non-publié) qui rentre naturellement dans ce nouveau cadre.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 28 avril 2017, 14h00, Salle 1007
Martin Szyld () A general limit lifting theorem for 2-dimensional monad theory

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 21 avril 2017, 14h00, Salle 1007
Eric Hoffbeck () Théorie d'obstruction pour les algèbres sur une opérade

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 10 mars 2017, 14h00, Salle 1007
Simon Henry () Sur des nouveaux modèles algébriques des types d'homotopie

Dans son manuscrit “À la poursuite des champs” Grothendieck propose une définition “d'infini-groupoïde” ainsi qu'une notion d'équivalence entre eux et conjecture que la catégorie homotopique est équivalente à sa catégorie des infini-groupoïdes “à équivalence près”.

Cette conjecture (l'hypothèse d'homotopie) est toujours un problème ouvert, et il y a de très nombreuses questions basiques concernant cette notion d'infini-groupoïdes qui restent sans réponse. Pour cette raison, on préfère généralement utiliser les ensembles simpliciaux et les complexes de Kan pour définir la notion d'infini-groupoïde et servir de point de départ pour la théorie des catégories supérieures.

Cela dit l'apparition de la théorie homotopique des types nous donne de nouvelles motivations pour s'intéresser à cette notion d'infini-groupoïdes : tout d'abord n'importe quel type en théorie homotopique des types porte une structure d'infini-groupoïde au sens Grothendieck, ensuite, si la théorie des types est censée être la logique interne de certaines infini-catégories, il s'agit à priori d'infini-catégories globulaires, i.e. d'un genre plus proche de la définition de Grothendieck que des versions simpliciales. Enfin, on sait internaliser en théorie des types la définition d'infini-groupoïdes de Grothendieck, alors qu'on est très loin de savoir faire de même pour les approches simpliciales.

Dans cet exposé je vais présenter une nouvelle famille de définitions de la notion d'infini-groupoïde qui sont inspirées de celle de Grothendieck, et qui conservent certaines de ses bonnes propriétés, mais qui échappent aux problèmes de celle-ci et pour laquelle on sait en particulier prouver l'analogue de l'hypothèse d'homotopie.

On énoncera aussi une conjecture technique précise, d'apparence simple, qui impliquerait que la définition de Grothendieck est un cas particulier de la nôtre, et qui donc impliquerait aussi l'hypothèse d'homotopie et résoudrait une partie des problèmes ouverts concernant la définition de Grothendieck.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 03 mars 2017, 14h00, Salle 1007
Maxime Lucas () Structure simpliciale sur les n-branchements et acyclicité de polygraphes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 24 février 2017, 14h00, Salle 1007
Cyrille Chenavier () Caractérisation et construction de bases de Gröbner par les opérateurs de réduction

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 03 février 2017, 14h00, Salle 1007
Mathieu Anel () Pourquoi les infini-catégories sont-elles utiles ?

En me limitant aux (infini,1)-catégories, j’illustrerai pourquoi on a besoin des catégories supérieures. La réponse que je développerai est que certains axiomes formulables en théorie des catégories n’ont aucun modèles non-triviaux dans les catégories ordinaires mais pas dans les catégories supérieures. L’une de ces propriétés est « l’effectivité des colimites » (forme améliorée de la propriété d’univalence) qui est à la base des infini-topos. Un autre exemple est la propriété de « stabilité » qui simplifie drastiquement la compréhension et la manipulation de l’algèbre homologique.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 27 janvier 2017, 14h00, Salle 1007
Rémy Tuyeras () Elimination des quotients dans les modèles d'esquisses limites

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 20 janvier 2017, 14h00, Salle 1007
Alexandre Quesney () Opérades Swiss Cheese et décompositions cellulaires

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 16 décembre 2016, 14h00, Salle 1007
Jacques Penon () Une pseudo-adjonction cachée derrière un théorème de M.Weber (II)

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 02 décembre 2016, 17h30, Salle 3052 * Journées du GDR Topologie Algébrique : changement d'horaire et de salle *
Jacques Penon () Une pseudo-adjonction cachée derrière un théorème de M.Weber

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 04 novembre 2016, 14h00, Salle 1007
François Métayer () Algèbres de la monade des états

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 28 octobre 2016, 14h00, Salle 1007
Maxime Lucas (IRIF) Inversibilité dans les omega-catégories cubiques

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 14 octobre 2016, 14h00, Salle 1007
Simon Forest () Une généralisation des complexes de parité de Street et des pasting schemes de Johnson

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 08 juillet 2016, 14h00, Salle 1007
Pierre Cagne () Bifibrations sur des catégories de modèles et construction de Reedy

Dans cet exposé, je présenterai un théorème permettant de relever une structure de catégorie de modèles le long d'une bifibration dont les fibres ont elles-mêmes un bon comportement homotopique. Ce résultat généralise deux théorèmes de la littérature (le premier par Roig et Stanculescu, le deuxième par Harpaz et Prasma) et a été motivé par l'étude de la construction de Reedy.

Celle-ci est un outil primordial en algèbre homotopique, qui permet de munir d'une structure de catégorie de modèles une catégorie de diagrammes à valeurs dans une catégorie de modèles quand la catégorie index admet de bonnes propriétés. Cette construction passe par l'utilisation de deux foncteurs, le latch et le match, dont l'introduction pourrait paraître a priori ad hoc. Après les rappels nécessaires, je montrerai qu'il n'en est rien et qu'ils sous-tendent en fait une bifibration dont l'étude, via notre théorème, éclaire l'étape clé dans la construction de Reedy.

Si le temps le permet, j'esquisserai rapidement quelques généralisations existantes de la construction de Reedy dans lesquelles la vue bifibrationnelle s'intègre également.

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 01 juillet 2016, 14h00, Salle 1007
Albert Burroni () Faisceautisation des structures par approximations successives

Classiquement, la construction universelle qui transforme un préfaisceau, de base une catégorie C, en faisceau sur un site (C,T), où T est une topologie de Grothendieck, s'appelle la “faisceautisation”.

En remplaçant le site précédent par une esquisse projective (C,T) où T est un ensemble de cônes projectifs, la notion de structure algébrique, relative à cette esquisse, généralise celle de faisceau. Dans ce cas plus général, une construction similaire, encore appelée faisceautisation, prolonge la construction précédente.

Ces constructions sont basées sur une transformation sur les préfaisceaux qui est itérée de manière transfinie (dont la longueur dépend de la taille des cônes projectifs) et s'inspirent de la technique des “approximations successives” en analyse. Dans le cas des faisceaux la construction s'arrête dès la deuxième étape, nous tenterons d'expliquer pourquoi. On verra aussi comment cette construction s'étend de manière relative aux esquisses mixtes (lesquelles comportent, en plus des cône projectifs de T, des cônes inductifs).

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 17 juin 2016, 14h00, Salle 1007
Eric Hoffbeck () Shuffles d'arbres

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 20 mai 2016, 14h00, Salle 1007
François Métayer () Monadicité des omega-catégories sur les polygraphes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 13 mai 2016, 14h00, Salle 1007
Clément Alleaume () Décroissance et présentations cohérentes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 15 avril 2016, 14h00, Salle 1007
Maxime Lucas () Une version cubique du théorème de Squier

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 25 mars 2016, 14h00, Salle 1007
Samuel Mimram () Parités complexes

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 18 mars 2016, 14h00, Salle 1007
Jacques Penon () Algèbre sur une opérade, un éclaircissement

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 11 mars 2016, 14h00, Salle 1007
Brice Halimi () Présentation de la théorie des esquisses

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 19 février 2016, 14h00, Salle 1007
Joey Beauvais-Feisthauer () Bicatégories et cohérence

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 12 février 2016, 14h00, Salle 1007
Albert Burroni () Une revisitation (et plus) de la définition des catégories globulaires monoïdales de Batanin

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 22 janvier 2016, 14h00, Salle 1007
François Métayer () Polygraphes généralisés

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 18 décembre 2015, 14h00, Salle 1007
Cyrille Chenavier () Opérateurs de réduction II : réécriture et complétion

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 11 décembre 2015, 14h00, Salle 1007
Sinan Yalin () Espaces de modules de bigèbres, cohomologie de Hochschild supérieure et formalité

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 04 décembre 2015, 14h00, Salle 1007
Cyrille Chenavier () Opérateurs de réduction I : structure de treillis et confluence

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 20 novembre 2015, 14h00, Salle 1007
Jonas Frey () Topos de réalisabilité comme catégories d'homotopie

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 06 novembre 2015, 14h00, Salle 1007
Pierre-Louis Curien et Jovana Obradovic () Polytopes engendrés par des hypergraphes, d'après Dosen et Petric

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 23 octobre 2015, 14h00, Salle 1007
Maxime Lucas () Polygraphes pour catégories cubiques

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 16 octobre 2015, 14h00, Salle 1007
Maxime Lucas () Ensembles cubiques symétriques et (omega,n)-catégories cubiques

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 02 octobre 2015, 14h00, Salle 1007
François Métayer () Nerf de Street et complexe normalisé

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 25 septembre 2015, 14h00, Salle 1007
Yves Guiraud () Le théorème de Squier pour les algèbres II

Catégories supérieures, polygraphes et homotopie
vendredi 18 septembre 2015, 14h00, Salle 1007
Yves Guiraud () Le théorème de Squier pour les algèbres I