Cet exposé est une introduction au catégories extriangulées. La notion de catégorie exacte (au sens de Quillen) est une axiomatisation des sous-catégories de catégories abéliennes, stables par extensions. Le catégories extriangulées sont une tentative d'axiomatisation analogue adaptée au cas des sous-catégories de catégories triangulées, stables par extensions. Après avoir donné des exemples provenant de la combinatoire et de la théorie des représentations, j'expliquerai cette axiomatisation et montrerai comment elle peut être utilisée dans des situations variées. Il s'agit de plusieurs travaux en commun avec Hiroyuki Nakaoka et avec Xin Fang, Misha Gorsky, Osamu Iyama, Arnau Padrol, Vincent Pilaud, Pierre-Guy Plamondon, Matt Pressland.

Descent theory is a set of ideas for reconstructing global structures from local data. The typical example is that we can define a continuous function by recollecting its restrictions on a family of open sets covering the base space. On the other hand, a presheaf is usually defined as the data of a functor from a base category into Set. This approach makes the choice of presentation of the base category somehow “invisible”, and if you happen to be a type theorist, it is sorely lacking in “dependent” flavor. The aim of this presentation is to explain my ongoing work on how descent theory inspires me to give another way of defining presheaves—the so-called “indexed presheaves”.

The first part of the talk will be a brief introduction to descent theory, and its 2-categorical version. The second part, less rigorous, will present my current ideas and plans.

Les diopérades, ou polycatégories, encodent des structures algébriques avec plusieurs entrées et plusieurs sorties, généralisant les opérades. Je montrerai que les foncteurs Frobenius monoïdaux sont exactement ceux qui préservent les algèbres sur une diopérade, généralisant la relation bien connue entre les foncteurs lax monoïdaux et les opérades. Dans un deuxième temps, j'expliquerai comment construire de telles structures Frobenius monoïdales (décalées) en présence d'une donnée d'orientation, de manière analogue à la procédure d'intégration le long des fibres induite par la dualité de Poincaré. La motivation initiale de ce projet vient de la géométrie dérivée, pour laquelle il serait nécessaire d'étendre la construction précédente au contexte ∞-catégorique. Je terminerai en exposant les difficultés homotopiques posées par cette généralisation. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Valerio Melani.

La théorie des catégories test de Grothendieck permet de caractériser les petites catégories dont la catégorie des préfaisceaux modélise (après une localisation appropriée) les types d'homotopie. Toute catégorie test est alors “aussi bonne” que la catégorie des simplexes pour faire de la théorie de l'homotopie.

Mais la catégorie des simplexes possède d'autres propriétés utiles en topologie algébrique. Parmi elles figure la “correspondance de Dold-Kan homotopique” : les groupes abéliens simpliciaux forment aussi un modèle des types d'homologie, après une localisation appropriée.

Dans cet exposé, je décrirai un cadre permettant de chercher des correspondances de Dold-Kan homotopiques pour les préfaisceaux en groupes abéliens sur des petites catégories quelconques, et en particulier sur les catégories test. Je donnerai également une classe d'exemples incluant, entre autres, la catégorie Thêta de Joyal.