We introduce an explicit combinatorial characterization of the minimal model for the coloured operad encoding non-symmetric operads, whose structure generalizes the structure of Stasheff's topological $A_{\infty}$-operad.

Depuis leur introduction par Leray dans les années 50 les suites spectrales sont devenues essentielles dans beaucoup de domaines mathématiques comme outil de calculs homologiques et homotopiques. Parmi les sources importantes de suites spectrales on trouve les complexes filtrés et les bicomplexes. On introduit pour chacune de ces catégories la notion de E_r-quasi-isomorphisme, liée à la r-ième page des suites spectrales associées aux objets considérés. On montrera dans cet exposé, une fois toutes les notions utiles définies (y compris les structures de catégorie modèles) que les catégories des complexes filtrés et des bicomplexes admettent des structures de catégorie modèle au sens de Quillen, où les équivalences faibles sont les E_r-quasi-isomorphismes.

Ceci est un travail en commun avec: Joana Cirici, Daniela Egas-Santander et Sarah Whitehouse.

A regular polygraph is one whose cells have k-dimensional boundaries “shaped as k-dimensional balls”, via a suitable geometric realisation. I will describe a combinatorial approach, where regular polygraphs are defined as presheaves on a shape category, and subsequently proved to form a full subcategory of the category of polygraphs. I will also show how several operations and constructions on polygraphs – such as lax Gray products and joins – admit a sleek definition in this setting.

I will then give a non-algebraic, fully weak definition of higher category, as a regular polygraph satisfying a representability property, and sketch a complementary algebraic, semi-strict definition. Finally, I will sketch how the two are combined in a semi-strictification construction, where semi-strictness should be read in the sense of “Simpson's conjecture for regular compositions”, as in the earlier seminar entry by Simon Henry.

The programme in the second part of the talk has been fully developed in dimension 2 (arXiv:1803.06086). The first part is the subject of a paper that I will publish or circulate before the talk.

I will present the results of the article (arXiv:1804.04244) which deals with the classical construction of the homotopy category of a model category (which is done by performing a quotient of the arrows by the homotopy relation) in the context of categories with weak equivalences. By studying this situation in an abstract context, one can define a relation of homotopy “only with respect to the weak equivalences” which yields the desired localization and coincides with the classical one for model categories. As it is usually the case, the proofs of these results, which consider only a family of arrows instead of three, become simpler. In particular, they allowed a generalization to bicategories in a current work with E. Descotte and E. Dubuc, which I will present too if time permits.

La conjecture de Simpson affirme (informellement) que tout infini groupoïde (ou même infini catégorie) faible est équivalent à un dont les compositions, lois d'associativités, et lois d'échanges sont strictes, et seules les lois 'd'unités' (et donc aussi d'inverses) sont faibles. La conjecture est relativement vague et laisse de la place à l'interprétation, aussi bien sur la liste précise des opérations que l'ont veut rendre strictes, que sur la façon dont les “unités faibles” sont définies.

Dans l'exposé j'esquisserai la première preuve d'une forme de cette conjecture : celle-ci s'applique aux infinis groupoïdes, et strictifie les compositions dites 'régulières' (celles dont le diagramme est topologiquement une boule). Ce type d'opérations est suffisant pour engendrer toutes les opérations et cohérences attendues dans un infini groupoïde faible, dès qu'on lui ajoute des unités faibles et des inverses faibles. C'est donc une réponse satisfaisante à la conjecture d'origine, mais il existe encore des formes plus fortes de la conjecture non démontrées pour l'instant.

La démonstration repose en très grande partie sur des résultats nouveaux en théorie des polygraphes et sur d’excellentes propriétés d'une certaine classe des polygraphes dit “réguliers”. La plus grande partie de l'exposé sera concentrée sur ces aspects 'polygraphiques'.

Note: Il s'agit de la suite de mon exposé de Septembre “Les polygraphes non-unitaires et la conjecture de Simpson”, mais je ferai tous les rappels nécessaires.

On propose une stratégie de réécriture pour obtenir des formes normales de diagrammes de cordes dans une catégorie monoïdale libre. On obtient une borne polynomiale sur la longueur maximale des réductions et on décrit un algorithme pour calculer les formes normales obtenues plus efficacement. Cela permet de décider l'égalité de diagrammes en temps quadratique. Une application possible serait d'implémenter l'algorithme dans Globular pour automatiser des étapes répétitives dans des preuves.

La catégorie des infini-catégories strictes n'est pas un topos. Cela se manifeste notamment par le fait que les colimites ne sont pas universelles, c'est-à-dire ne sont pas préservées par tiré-en-arrière (i.e. “pullback”) le long de n'importe quelle flèche. De manière équivalente, cela signifie qu'il existe des flèches le long desquelles le foncteur tiré-en-arrière n'admet pas d'adjoint à droite. Lorsqu'on se restreint à la catégorie des 1-catégories, une caractérisation “facile” de ce type de flèches a été mise en évidence par J. Giraud en 1964 et indépendamment par F. Conduché en 1972.

Dans cet exposé, je présenterai le travail de Giraud sur la question et j'expliquerai comment l'étendre au cas des infini-catégories strictes. J'expliquerai ensuite pourquoi cette question de non-universalité des colimites est intimement liée à une question de stabilité des résolutions polygraphiques par tiré-en-arrière et cela me permettra d'achever la démonstration d'un résultat laissé en suspens lors de mon exposé du 16/02/2018.

Dans leur article de 2009, “Polygraphic resolutions and homology of monoids”, Y. Lafont et F. Métayer démontrent que l'homologie “polygraphique” des monoïdes coïncide avec l'homologie “habituelle” des monoïdes, c'est-à-dire celle définie avec le foncteur Tor. Je présenterai dans cet exposé une extention du résultat précédent à toutes les 1-catégories. Pour cela, j'établirai un cadre abstrait dans lequel je réinterpréterai les étapes-clés de la démonstration de Lafont-Métayer.

Assez curieusement, cela m'a également amené à étendre certains résultats de Conduché et Giraud sur l'exponentiabilité des 1-foncteurs dont je parlerai également (éventuellement en détails dans un exposé futur).

Mot-clés : Polygraphes, Homologie des 1-catégories, Ext-Tor, Fibrations de Conduché, “push-forward” pour les (n-)catégories.

Depuis le début du 20e siècle, l'algèbre homologique s'est développée par mues successives, des nombres de Betti aux (∞,1)-catégories en passant notamment par les catégories dérivées. Des développements récents, j'essayerai de discuter le contraste entre complexité (celle que je ressens à la lecture des ouvrages de Lurie, par exemple) et efficacité (je donnerai des exemples tirés de la géométrie algébrique), avec l'œil d'un géomètre qui aimerait bien disposer de ces outils sans pour autant savoir se dépêtrer de la littérature (in-?)existante.