The first part of the talk will be devoted to showing that Moerdijk-Weiss’s category of dendrices \Omega is a Lawvere theory with arities for the free-operad monad on coloured symmetric Set-valued collections. This demonstration is due to J. Kock, following Weber, and generalises the known example of the category \Delta of simplices as a Lawvere theory with arities for the free-category monad on graphs.

If time permits, the second part will try to generalise this setting to simplicial operads and simplicial (i.e. sSet-enriched) model categories by replacing Set with the category sSet of simplicial sets, following Moerdijk-Weiss and Cisinski-Moerdijk.

The underlying theme is a variant of the small object argument that produces orthogonal factorisation systems (i.e. whose left and right maps lift uniquely against each other). This variant has been presented in a previous talk by M. Anel, and its generalisation to simplicial model categories is left Bousfield localisation.

We introduce an explicit combinatorial characterization of the minimal model for the coloured operad encoding non-symmetric operads, whose structure generalizes the structure of Stasheff's topological $A_{\infty}$-operad.

Depuis leur introduction par Leray dans les années 50 les suites spectrales sont devenues essentielles dans beaucoup de domaines mathématiques comme outil de calculs homologiques et homotopiques. Parmi les sources importantes de suites spectrales on trouve les complexes filtrés et les bicomplexes. On introduit pour chacune de ces catégories la notion de E_r-quasi-isomorphisme, liée à la r-ième page des suites spectrales associées aux objets considérés. On montrera dans cet exposé, une fois toutes les notions utiles définies (y compris les structures de catégorie modèles) que les catégories des complexes filtrés et des bicomplexes admettent des structures de catégorie modèle au sens de Quillen, où les équivalences faibles sont les E_r-quasi-isomorphismes.

Ceci est un travail en commun avec: Joana Cirici, Daniela Egas-Santander et Sarah Whitehouse.

A regular polygraph is one whose cells have k-dimensional boundaries “shaped as k-dimensional balls”, via a suitable geometric realisation. I will describe a combinatorial approach, where regular polygraphs are defined as presheaves on a shape category, and subsequently proved to form a full subcategory of the category of polygraphs. I will also show how several operations and constructions on polygraphs – such as lax Gray products and joins – admit a sleek definition in this setting.

I will then give a non-algebraic, fully weak definition of higher category, as a regular polygraph satisfying a representability property, and sketch a complementary algebraic, semi-strict definition. Finally, I will sketch how the two are combined in a semi-strictification construction, where semi-strictness should be read in the sense of “Simpson's conjecture for regular compositions”, as in the earlier seminar entry by Simon Henry.

The programme in the second part of the talk has been fully developed in dimension 2 (arXiv:1803.06086). The first part is the subject of a paper that I will publish or circulate before the talk.

I will present the results of the article (arXiv:1804.04244) which deals with the classical construction of the homotopy category of a model category (which is done by performing a quotient of the arrows by the homotopy relation) in the context of categories with weak equivalences. By studying this situation in an abstract context, one can define a relation of homotopy “only with respect to the weak equivalences” which yields the desired localization and coincides with the classical one for model categories. As it is usually the case, the proofs of these results, which consider only a family of arrows instead of three, become simpler. In particular, they allowed a generalization to bicategories in a current work with E. Descotte and E. Dubuc, which I will present too if time permits.

La conjecture de Simpson affirme (informellement) que tout infini groupoïde (ou même infini catégorie) faible est équivalent à un dont les compositions, lois d'associativités, et lois d'échanges sont strictes, et seules les lois 'd'unités' (et donc aussi d'inverses) sont faibles. La conjecture est relativement vague et laisse de la place à l'interprétation, aussi bien sur la liste précise des opérations que l'ont veut rendre strictes, que sur la façon dont les “unités faibles” sont définies.

Dans l'exposé j'esquisserai la première preuve d'une forme de cette conjecture : celle-ci s'applique aux infinis groupoïdes, et strictifie les compositions dites 'régulières' (celles dont le diagramme est topologiquement une boule). Ce type d'opérations est suffisant pour engendrer toutes les opérations et cohérences attendues dans un infini groupoïde faible, dès qu'on lui ajoute des unités faibles et des inverses faibles. C'est donc une réponse satisfaisante à la conjecture d'origine, mais il existe encore des formes plus fortes de la conjecture non démontrées pour l'instant.

La démonstration repose en très grande partie sur des résultats nouveaux en théorie des polygraphes et sur d’excellentes propriétés d'une certaine classe des polygraphes dit “réguliers”. La plus grande partie de l'exposé sera concentrée sur ces aspects 'polygraphiques'.

Note: Il s'agit de la suite de mon exposé de Septembre “Les polygraphes non-unitaires et la conjecture de Simpson”, mais je ferai tous les rappels nécessaires.

On propose une stratégie de réécriture pour obtenir des formes normales de diagrammes de cordes dans une catégorie monoïdale libre. On obtient une borne polynomiale sur la longueur maximale des réductions et on décrit un algorithme pour calculer les formes normales obtenues plus efficacement. Cela permet de décider l'égalité de diagrammes en temps quadratique. Une application possible serait d'implémenter l'algorithme dans Globular pour automatiser des étapes répétitives dans des preuves.

La catégorie des infini-catégories strictes n'est pas un topos. Cela se manifeste notamment par le fait que les colimites ne sont pas universelles, c'est-à-dire ne sont pas préservées par tiré-en-arrière (i.e. “pullback”) le long de n'importe quelle flèche. De manière équivalente, cela signifie qu'il existe des flèches le long desquelles le foncteur tiré-en-arrière n'admet pas d'adjoint à droite. Lorsqu'on se restreint à la catégorie des 1-catégories, une caractérisation “facile” de ce type de flèches a été mise en évidence par J. Giraud en 1964 et indépendamment par F. Conduché en 1972.

Dans cet exposé, je présenterai le travail de Giraud sur la question et j'expliquerai comment l'étendre au cas des infini-catégories strictes. J'expliquerai ensuite pourquoi cette question de non-universalité des colimites est intimement liée à une question de stabilité des résolutions polygraphiques par tiré-en-arrière et cela me permettra d'achever la démonstration d'un résultat laissé en suspens lors de mon exposé du 16/02/2018.

Dans leur article de 2009, “Polygraphic resolutions and homology of monoids”, Y. Lafont et F. Métayer démontrent que l'homologie “polygraphique” des monoïdes coïncide avec l'homologie “habituelle” des monoïdes, c'est-à-dire celle définie avec le foncteur Tor. Je présenterai dans cet exposé une extention du résultat précédent à toutes les 1-catégories. Pour cela, j'établirai un cadre abstrait dans lequel je réinterpréterai les étapes-clés de la démonstration de Lafont-Métayer.

Assez curieusement, cela m'a également amené à étendre certains résultats de Conduché et Giraud sur l'exponentiabilité des 1-foncteurs dont je parlerai également (éventuellement en détails dans un exposé futur).

Mot-clés : Polygraphes, Homologie des 1-catégories, Ext-Tor, Fibrations de Conduché, “push-forward” pour les (n-)catégories.

Depuis le début du 20e siècle, l'algèbre homologique s'est développée par mues successives, des nombres de Betti aux (∞,1)-catégories en passant notamment par les catégories dérivées. Des développements récents, j'essayerai de discuter le contraste entre complexité (celle que je ressens à la lecture des ouvrages de Lurie, par exemple) et efficacité (je donnerai des exemples tirés de la géométrie algébrique), avec l'œil d'un géomètre qui aimerait bien disposer de ces outils sans pour autant savoir se dépêtrer de la littérature (in-?)existante.

L’argument du petit objet est une recette pour construire des factorisations de morphisme f:X \to Y en f=R(f)L(f) où L(f) et R(f) sont dans des classes L et R qui ont des propriétés de relèvement non-unique (orthogonalité faible) entre elles. Lorsque la propriété de relèvement de L et R est unique (orthogonalité forte) l’argument doit être modifié pour produire la bonne factorisation. Le but de l’exposé sera de proposer deux méthodes pour corriger la construction (inspirées de Gabriel-Ulmer et de Kelly).

Je partirai de deux “théorèmes” faux : Le premier est dû à Kapranov et Voevodsky et dit essentiellement que l'on peut représenter les types d'homotopie par des infini-catégories strictes dont toutes les flèches sont faiblement inversibles. Le deuxième est la preuve par Johnstone et Carboni (et Batanin) que la catégorie des polygraphes est une catégorie de préfaisceaux.

Les deux énoncés sont faux pour des raisons très similaires : à chaque fois l'argument clé est l'argument de Eckmann-Hilton, c'est-à-dire le fait que la composition des endomorphismes de n'importe quelle identité dans une infini-catégorie est strictement commutative. Cette commutativité est incompatible avec les deux affirmations précedentes.

Pour cette raison, il est conjecturé que si l'on travaille dans une situation où il n'y pas d'unité, ou bien où les unités sont faibles ou n'interviennent pas alors ces énoncés deviennent vrais. Dans le premier cas il s'agit de la conjecture de semi-strictification de Simpson qui affirme que les types d'homotopie peuvent être représentés par des infini-catégories strictes “sans identités” qui admettent des identités faibles et des inverses faibles. Dans le deuxième cas il s'agit d'une “conjecture” de Johnstone et Carboni qui dit que la catégorie des polygraphes tels que la source et le but de chaque générateur n'est pas une identité est une catégorie de préfaisceaux.

Dans l'exposé je présenterai une preuve de cette dernière “conjecture” et j'expliquerai en quoi cela pourrait permettre d'arriver à une preuve de la conjecture de Simpson.

We discuss the problem of equality in type theory. We present an approach to defining higher equality structures in type theory. As an application, we study the lambda calculus from the multi-dimensional point of view. Taking equality between lambda terms (1-cells) to be beta conversion modulo permutation of redexes, we discover that the induced higher structure is a homotopy 1-type. That is, whenever there exists a higher cell between two β-conversions, the space of such cells is contractible. The key property of the lambda calculus responsible for this is Lévy’s projection calculus (AKA calculus of residuals). We conclude that the result holds for any theory which admits a presentation with such a calculus. For example, all (weakly) orthogonal TRSs describe homotopy 1-types.

En 1953, S. Eilenberg et S. Maclane publient l'article “Acyclic Models” dans lequel ils exposent le théorème (ou méthode) dit des modèles acycliques. Cet outil permet de comparer efficacement différentes théories homologiques tout en étant très économe en calculs. Depuis, différents théorèmes dit de «modèles acycliques» ont été démontrés, comme par exemple celui de M.Barr et J. Beck en 1966. Pourtant même si ce dernier a des conclusions similaires au théorème d'Eilenberg et Maclane, le cadre semble assez différent. Dans mon exposé, je présenterai un théorème d'algèbre homologique très général duquel il est très facile de déduire ces différents théorèmes de modèles acycliques ainsi que les théorèmes habituels de relèvement d'algèbre homologique.

Je présenterai aussi mes travaux en cours qui visent à démontrer un théorème de relèvement plus fin et plus général que les précédents et dont un cas particulier a également été démontré par M. Barr dans les années 90. Enfin, si le temps me le permet, j'exposerai un théorème des modèles acycliques d'A. Prouté (non-publié) qui rentre naturellement dans ce nouveau cadre.

Dans son manuscrit “À la poursuite des champs” Grothendieck propose une définition “d'infini-groupoïde” ainsi qu'une notion d'équivalence entre eux et conjecture que la catégorie homotopique est équivalente à sa catégorie des infini-groupoïdes “à équivalence près”.

Cette conjecture (l'hypothèse d'homotopie) est toujours un problème ouvert, et il y a de très nombreuses questions basiques concernant cette notion d'infini-groupoïdes qui restent sans réponse. Pour cette raison, on préfère généralement utiliser les ensembles simpliciaux et les complexes de Kan pour définir la notion d'infini-groupoïde et servir de point de départ pour la théorie des catégories supérieures.

Cela dit l'apparition de la théorie homotopique des types nous donne de nouvelles motivations pour s'intéresser à cette notion d'infini-groupoïdes : tout d'abord n'importe quel type en théorie homotopique des types porte une structure d'infini-groupoïde au sens Grothendieck, ensuite, si la théorie des types est censée être la logique interne de certaines infini-catégories, il s'agit à priori d'infini-catégories globulaires, i.e. d'un genre plus proche de la définition de Grothendieck que des versions simpliciales. Enfin, on sait internaliser en théorie des types la définition d'infini-groupoïdes de Grothendieck, alors qu'on est très loin de savoir faire de même pour les approches simpliciales.

Dans cet exposé je vais présenter une nouvelle famille de définitions de la notion d'infini-groupoïde qui sont inspirées de celle de Grothendieck, et qui conservent certaines de ses bonnes propriétés, mais qui échappent aux problèmes de celle-ci et pour laquelle on sait en particulier prouver l'analogue de l'hypothèse d'homotopie.

On énoncera aussi une conjecture technique précise, d'apparence simple, qui impliquerait que la définition de Grothendieck est un cas particulier de la nôtre, et qui donc impliquerait aussi l'hypothèse d'homotopie et résoudrait une partie des problèmes ouverts concernant la définition de Grothendieck.

En me limitant aux (infini,1)-catégories, j’illustrerai pourquoi on a besoin des catégories supérieures. La réponse que je développerai est que certains axiomes formulables en théorie des catégories n’ont aucun modèles non-triviaux dans les catégories ordinaires mais pas dans les catégories supérieures. L’une de ces propriétés est « l’effectivité des colimites » (forme améliorée de la propriété d’univalence) qui est à la base des infini-topos. Un autre exemple est la propriété de « stabilité » qui simplifie drastiquement la compréhension et la manipulation de l’algèbre homologique.

Dans cet exposé, je présenterai un théorème permettant de relever une structure de catégorie de modèles le long d'une bifibration dont les fibres ont elles-mêmes un bon comportement homotopique. Ce résultat généralise deux théorèmes de la littérature (le premier par Roig et Stanculescu, le deuxième par Harpaz et Prasma) et a été motivé par l'étude de la construction de Reedy.

Celle-ci est un outil primordial en algèbre homotopique, qui permet de munir d'une structure de catégorie de modèles une catégorie de diagrammes à valeurs dans une catégorie de modèles quand la catégorie index admet de bonnes propriétés. Cette construction passe par l'utilisation de deux foncteurs, le latch et le match, dont l'introduction pourrait paraître a priori ad hoc. Après les rappels nécessaires, je montrerai qu'il n'en est rien et qu'ils sous-tendent en fait une bifibration dont l'étude, via notre théorème, éclaire l'étape clé dans la construction de Reedy.

Si le temps le permet, j'esquisserai rapidement quelques généralisations existantes de la construction de Reedy dans lesquelles la vue bifibrationnelle s'intègre également.

Classiquement, la construction universelle qui transforme un préfaisceau, de base une catégorie C, en faisceau sur un site (C,T), où T est une topologie de Grothendieck, s'appelle la “faisceautisation”.

En remplaçant le site précédent par une esquisse projective (C,T) où T est un ensemble de cônes projectifs, la notion de structure algébrique, relative à cette esquisse, généralise celle de faisceau. Dans ce cas plus général, une construction similaire, encore appelée faisceautisation, prolonge la construction précédente.

Ces constructions sont basées sur une transformation sur les préfaisceaux qui est itérée de manière transfinie (dont la longueur dépend de la taille des cônes projectifs) et s'inspirent de la technique des “approximations successives” en analyse. Dans le cas des faisceaux la construction s'arrête dès la deuxième étape, nous tenterons d'expliquer pourquoi. On verra aussi comment cette construction s'étend de manière relative aux esquisses mixtes (lesquelles comportent, en plus des cône projectifs de T, des cônes inductifs).