Soit G_n un graphe aléatoire uniforme à n sommets, choisi dans votre classe de graphes favorite (graphes planaires, graphes sans triangles,graphes 7-coloriables, etc…). Quelle est la probabilité que G_n soit connexe? Sans hypothèse sur la classe on ne peut, bien sûr, rien dire sur cette question. Mais si la classe de graphe est *ajoutable*, àsavoir stable par l'ajout d'arêtes entre composantes connexes, McDiarmid-Steger-Welsh (2005) ont conjecturé que P(G_n connexe) est au moins exp(-1/2)=0.60… asymptotiquement. Cette borne est optimale (car elle est atteinte pour la classe des forêts) et aussi assez étonnante (car de nombreuses classes sont ajoutables, y compris des classes très bizarres sur lesquelles on penserait ne rien pouvoir dire). Je parleraide notre démonstration de cette conjecture. Je commencerai par expliquer la très jolie et simple technique dedouble-comptage due à McSW et qui permet de démontrer la borne exp(-1). Puis j'essaierai de donner les idées principales de notre technique nouvelle, le «double-comptage local». Cette technique débouche sur un problème d'optimisation non convexe dont les fonctionnelles sont par miracle des séries génératrices d'arbres enracinés pondérés par des fonctionnelles supermultiplicatives. L'adaptation d'outils de combinatoire classique (le théorème de disymétrie!) permet de résoudre le problème. Travail commun avec Guillem Perarnau (Birmingham)